二元配置分散分析
　各水準の繰返し数が等しくないが，周辺度数に比例する場合

　　　　　　　　　　Last modified: Nov 07, 2002

例題：

　「表 １ のようなデータについて二元配置分散分析を行いなさい。」

表 １．各水準の繰返し数が等しくないが，
周辺度数に比例する場合
要因 B
　$b_{1}$　 　$b_{2}$　 　$b_{3}$　 　$b_{4}$　 　$b_{5}$　
　要因 A　 　$a_{1}$　 7.0　
5.7　		 4.6　
5.6　		 7.0　
7.4　
6.6　		 7.3　
6.3　
7.8　		 5.3　
4.7　
　$a_{2}$　 5.8　
8.9　		 10　
7.1　		 6.5　
9.8　
5.0　		 9.7　
6.4　
9.9　		 7.8　
5.4　
　$a_{3}$　 8.1　
6.1　
10.2　
6.9　		 5.2　
5.7　
11.8　
6.1　		 10.4　
5.6　
9.4　
5.9　
12.1　
5.7　		 5.3　
9.7　
5.5　
10.2　
13.8　
7.0　		 11.1　
4.2　
7.1　
5.0　

検定手順:
  1. 前提

  2. 分析対象変数 $X$ の全変動 $SS_{t}$ は，次式のように $4$ 個の独立な変動に分解できる。

    全変動 = 要因 A の効果 + 要因 B の効果 + 要因 A と要因 B の交互作用 + 残差

    $SS_{t} = SS_{a} + SS_{b} + SS_{ab} + SS_{e}$

    $SS_{a}$ と $SS_{b}$ はそれぞれ要因 A，要因 B の主効果とよばれる。

    \[ \begin{align*} \sum_{i=1}^a \sum_{j=1}^b \sum_{k=1}^{n_{ij}} (X_{ijk} - \bar{X}_{\cdot \cdot \cdot})^2 &=\ \sum_{i=1}^a n_{i \cdot} (\bar{X}_{i\cdot \cdot} - \bar{X}_{\cdot \cdot \cdot})^2\\ &+\ \sum_{j=1}^b n_{\cdot j} (\bar{X}_{\cdot j \cdot} - \bar{X}_{\cdot \cdot \cdot})^2\\ &+\ \sum_{i=1}^a \sum_{j=1}^b n_{ij} (\bar{X}_{i j \cdot} - \bar{X}_{i\cdot \cdot} - \bar{X}_{\cdot j \cdot} + \bar{X}_{\cdot \cdot \cdot})^2\\ &+ \sum_{i=1}^a \sum_{j=1}^b \sum_{k=1}^{n_{ij}} (X_{ijk} - \bar{X}_{i j \cdot})^2 \end{align*} \]

  3. この場合，二元配置分散分析は表 2 のような分散分析表で表される。

    表 2．分散分析表
    変動要因 平方和 自由度 平均平方
    要因 A $SS_{a}$ $df_{a} = a - 1$ $MS_{a} = \displaystyle \frac{SS_{a}}{df_{a}}$
    要因 B $SS_{b}$ $df_{b} = b - 1$ $MS_{b} = \displaystyle \frac{SS_{b}}{df_{b}}$
    　交互作用　 　$SS_{ab}$　 　$df_{ab} = ( a - 1 )\ ( b - 1 )$　 　$MS_{ab} = \displaystyle \frac{SS_{ab}}{df_{ab}}$　
    残差 $SS_{e}$ $df_{e} = n_{ \cdot \cdot }- a\ b$ $MS_{e} = \displaystyle \frac{SS_{e}}{df_{e}}$
    全体 $SS_{t}$ $df_{t} = n_{ \cdot \cdot } - 1$

    表 3．分散分析表 を解釈する 3 つのモデル
    $F$ 値
    　変動要因　 　モデルI　 　モデルII　 　混合モデル　
    要因 A 　$F_{a} =$　 $\displaystyle \frac{MS_{a}}{MS_{e}}$ $\displaystyle \frac{MS_{a}}{MS_{ab}}$ $\displaystyle \frac{MS_{a}}{MS_{ab}}$
    要因 B 　$F_{b} =$　 $\displaystyle \frac{MS_{b}}{MS_{e}}$ $\displaystyle \frac{MS_{b}}{MS_{ab}}$ $\displaystyle \frac{MS_{b}}{MS_{e}}$
    交互作用 　$F_{ab} =$　 $\displaystyle \frac{MS_{ab}}{MS_{e}}$ $\displaystyle \frac{MS_{ab}}{MS_{e}}$ $\displaystyle \frac{MS_{ab}}{MS_{e}}$

    モデル I は 母数モデル とも呼ばれる。要因 A，B の各水準を固定された不動のものとみなす。

    モデル II は 変量モデル とも呼ばれる。要因 A，B の各水準は無数の水準の内の標本とみなし，そこから得られる推測結論を，標本以外の広い範囲へも適用しようとするものである。

    混合モデル は，片方の要因に母数モデル，もう一方の要因に変量モデルを考えるものである。

  4. それぞれの自由度を持つ $F$ 分布において，有意確率を $P = \Pr\{F \geqq F_0\}$ とする。
    $F$ 分布表（$\alpha = 0.05$，$\alpha = 0.025$，$\alpha = 0.01$，$\alpha = 0.005$），または $F$ 分布の上側確率の計算を参照すること。

  5. 帰無仮説の採否を決める。

    例題では，それぞれのモデルごとに以下のようになる。各表の右端の欄に帰無仮説を棄却できるかできないかを示す。

    n.s. は有意確率が $0.05$ 以上なので，帰無仮説は棄却できない。
    * は有意確率が $0.05$ 以下なので，帰無仮説を棄却する。
    ** は有意確率が $0.01$ 以下なので，帰無仮説を棄却する。

    表 4．モデル I（ 母数モデル ）
    　　要因　　 　平方和　 　自由度　 　平均平方　 　　$F$ 値　　 　有意確率　 　　　
    要因 A 20.79688 2 10.39844 1.758991 0.18798 n.s.
    要因 B 19.53646 4 4.884115 0.8261929 0.51804 n.s.
    交互作用 7.848958 8 0.9811198 0.1659654 0.99400 n.s.
    残差 195.0825 33 5.911591
    合計 243.2648 47 5.175847

    表 5．モデル II（ 変量モデル ）
    　　要因　　 　平方和　 　自由度　 　平均平方　 　　$F$ 値　　 　有意確率　 　　　
    要因 A 20.79688 2 10.39844 10.59854 0.00564 **
    要因 B 19.53646 4 4.884115 4.978102 0.02600 *
    交互作用 7.848958 8 0.9811198 0.1659654 0.99400 n.s.
    残差 195.0825 33 5.911591
    合計 243.2648 47 5.175847

    表 6．混合モデル
    　　要因　　 　平方和　 　自由度　 　平均平方　 　　$F$ 値　　 　有意確率　 　　　
    要因 A 20.79688 2 10.39844 10.59854 0.00564 **
    要因 B 19.53646 4 4.884115 0.8261929 0.51804 n.s.
    交互作用 7.848958 8 0.9811198 0.1659654 0.99400 n.s.
    残差 195.0825 33 5.911591
    合計 243.2648 47 5.175847

演習問題：

応用問題：

・ 計算プログラム　[R]　[Python]
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