例題：

　「年齢と季節がホルモンの分泌量と関係するかどうかについて，年齢階級および各季節ごとにそれぞれ別々に 3 人ずつ，計 60 人の被検者のホルモン分泌量を測定した結果は表 1 のようになった。$5\%$ の有意水準で二元配置分散分析をしなさい。」

1. 前提
   • 帰無仮説 $H_0$：「要因効果がない」。
   • 対立仮説 $H_1$：「要因効果がある」。
   • 有意水準 $\alpha$ で両側検定を行う（片側検定は定義できない）。
     注：意味的に両側検定である。形式的には $F$ 分布の片側確率を使う片側検定である。

2. 繰返し数を $n$，各セルの測定値を $X_{ijk}\ (i=1, 2, \dots, a\;\ j=1, 2, \dots, b\ ;\ k=1, 2, \dots, n)$ とする。

   例題では，$n = 3$，$a = 4$，$b = 5$ である。

3. 表 1 の各水準の平均値は，$\bar{X}_{i \cdot \cdot }$，$\bar{X}_{\cdot j \cdot }$ のように “${}_{\cdot}$” が最後にもう $1$ 個つき，それは各水準の組み合わせでの繰返し数 $n_{ij}$ を意味する。また，$\bar{X}_{ij \cdot }$ は各水準の組み合わせでの平均値を意味する。

4. この場合には，分析対象変数 $X$ の全変動 $SS_{t}$ は以下のように $4$ 個の独立な変動に分解できる。

   全変動 = 要因 A の効果 + 要因 B の効果 + 要因 A と要因 B の交互作用 + 残差

   $SS_{t} = SS_{a} + SS_{b} + SS_{ab} + SS_{e}$

   \[ \begin{align*} \sum_{i=1}^a \sum_{j=1}^b \sum_{k=1}^n (X_{ijk} - \bar{X}_{\cdot \cdot \cdot})^2 &=\ n\ b \sum_{i=1}^a (\bar{X}_{i\cdot \cdot} - \bar{X}_{\cdot \cdot \cdot})^2\\ &+\ n\ a \sum_{j=1}^b (\bar{X}_{\cdot j \cdot} - \bar{X}_{\cdot \cdot \cdot})^2\\ &+\ n \sum_{i=1}^a \sum_{j=1}^b (\bar{X}_{i j \cdot} - \bar{X}_{i\cdot \cdot} - \bar{X}_{\cdot j \cdot} + \bar{X}_{\cdot \cdot \cdot})^2\\ &+ \sum_{i=1}^a \sum_{j=1}^b \sum_{k=1}^n (X_{ijk} - \bar{X}_{i j \cdot})^2 \end{align*} \]

5. この場合，二元配置分散分析は表 2 のような分散分析表で表される。

   表 2．分散分析表

   変動要因	平方和	自由度	平均平方
   要因 A	$SS_{a}$	$df_{a} = a - 1$	$MS_{a} = \displaystyle \frac{SS_{a}}{df_{a}}$
   要因 B	$SS_{b}$	$df_{b} = b - 1$	$MS_{b} = \displaystyle \frac{SS_{b}}{df_{b}}$
   交互作用	$SS_{ab}$	$df_{ab} = ( a - 1 )\ ( b - 1 )$	$MS_{ab} = \displaystyle \frac{SS_{ab}}{df_{ab}}$
   残差	$SS_{e}$	$df_{e} = a\ b\ ( n - 1 )$	$MS_{e} = \displaystyle \frac{SS_{e}}{df_{e}}$
   全体	$SS_{t}$	$df_{t} = a\ b\ n - 1$

   表 3．分散分析表 を解釈する 3 つのモデル

   	$F$ 値
   変動要因		モデルI	モデルII	混合モデル
   要因 A	$F_{a} =$	$\displaystyle \frac{MS_{a}}{MS_{e}}$	$\displaystyle \frac{MS_{a}}{MS_{ab}}$	$\displaystyle \frac{MS_{a}}{MS_{ab}}$
   要因 B	$F_{b} =$	$\displaystyle \frac{MS_{b}}{MS_{e}}$	$\displaystyle \frac{MS_{b}}{MS_{ab}}$	$\displaystyle \frac{MS_{b}}{MS_{e}}$
   交互作用	$F_{ab} =$	$\displaystyle \frac{MS_{ab}}{MS_{e}}$	$\displaystyle \frac{MS_{ab}}{MS_{e}}$	$\displaystyle \frac{MS_{ab}}{MS_{e}}$

   モデル I は 母数モデル とも呼ばれる。要因 A，B の各水準を固定された不動のものとみなす。

   • 要因 A の有意性の検定は，$F_{a}$ が第 $1$ 自由度が $df_{a}$，第 $2$ 自由度が $df_{e}$ である $F$ 分布に従うことを利用する。

   • 要因 B の有意性の検定は，$F_{b}$ が第 $1$ 自由度が $df_{b}$，第 $2$ 自由度が $df_{e}$ である $F$ 分布に従うことを利用する。

   • 交互作用の有意性の検定は，$F_{ab}$ が第 $1$ 自由度が $df_{ab}$，第 $2$ 自由度が $df_{e}$ である $F$ 分布に従うことを利用する。

   モデル II は 変量モデル とも呼ばれる。要因 A，B の各水準は無数の水準の内の標本とみなし，そこから得られる推測結論を，標本以外の広い範囲へも適用しようとするものである。

   • 要因 A の有意性の検定は，$F_{a}$ が第 $1$ 自由度が $df_{a}$，第 $2$ 自由度が $df_{ab}$ である $F$ 分布に従うことを利用する。

   • 要因 B の有意性の検定は，$F_{b}$ が第 $1$ 自由度が $df_{b}$，第 $2$ 自由度が $df_{ab}$ である $F$ 分布に従うことを利用する。

   • 交互作用 の有意性の検定は，$F_{b}$ が第 $1$ 自由度が $df_{b}$，第 $2$ 自由度が $df_{e}$ である $F$ 分布に従うことを利用する。

   混合モデル は，片方の要因に母数モデル，もう一方の要因に変量モデルを考えるものである。

6. それぞれの自由度を持つ $F$ 分布において，有意確率を $P = \Pr\{F \geqq F_0\}$ とする。
   $F$ 分布表（$\alpha = 0.05$，$\alpha = 0.025$，$\alpha = 0.01$，$\alpha = 0.005$），または $F$ 分布の上側確率の計算を参照すること。

7. 帰無仮説の採否を決める。
   • $P \gt \alpha$ のとき，帰無仮説は棄却できない。「要因効果があるとはいえない」。
   • $P \leqq \alpha$ のとき，帰無仮説を棄却する。「要因効果がある」。

   例題では，それぞれのモデルごとに以下のようになる。各表の右端の欄に帰無仮説を棄却できるかできないかを示す。

   n.s. は有意確率が $0.05$ 以上なので，帰無仮説は棄却できない。
   * は有意確率が $0.05$ 以下なので，帰無仮説を棄却する。
   ** は有意確率が $0.01$ 以下なので，帰無仮説を棄却する。
   

   表 4．モデル I（ 母数モデル ）

   要因	平方和	自由度	平均平方	F値	有意確率
   季節	51.39733	3	17.13244	4.937067	0.00520	**
   年齢	106.2873	4	26.57183	7.657221	0.00011	**
   交互作用	52.85267	12	4.404389	1.269215	0.27389	n.s.
   残差	138.8067	40	3.470167
   合計	349.3440	59	5.921085

   表 5．モデル II（ 変量モデル ）

   要因	平方和	自由度	平均平方	F値	有意確率
   季節	51.39733	3	17.13244	3.889857	0.03739	*
   年齢	106.2873	4	26.57183	6.033035	0.00672	**
   交互作用	52.85267	12	4.404389	1.269215	0.27389	n.s.
   残差	138.8067	40	3.470167
   合計	349.3440	59	5.921085

演習問題：

応用問題：