一致性     Last modified: May 16, 2002

 母数 $\theta$ を持つ母集団から,大きさ $n$ の標本 $X_{1}, X_{2}, \dots , X_{n}$ が抽出されたとする。

 この標本について統計量 $T_{n} = T( X_{1}, X_{2}, \dots , X_{n} )$ を考える。

 $n$ を十分大きくしたときに $T_{n}$ の分散が 0 に近づくとき,$T_{n}$ は $\theta$ の 一致推定量 であるという。

\[ \lim_{n \to \infty} E\left [(T_n-\theta)^2\right ] = \lim_{n \to \infty} V\left [T_n\right] = 0 \]


 例えば,母平均 $\mu$,母分散 $\sigma^{2}$ の正規分布 $\mathcal{N}(\mu,\sigma^{2})$ に従う母集団から大きさ $n$ の標本を抽出したとき,

標本平均 $\bar{X}$,最頻値 $M_o$,中央値 $M_e$ は共に $\mu$ の一致推定量である。


演習問題

 「$a$,$b$ が正数( $a \ne b \gt 0$ ),$n$ が標本の大きさ,$\bar{X}$ が平均値であるとして,次式で定義される母平均 $\mu$ の推定量 $\tilde{X}$ は一致推定量の基準は満たすか。」

\[ \tilde{X} = \frac{n+a}{n+b}\bar{X},  a \ne b \gt 0 \] 解答


応用問題


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