母数 $\theta$ を持つ母集団から，大きさ $n$ の標本 $X_{1}, X_{2}, \dots , X_{n}$ が抽出されたとする。

　この標本について統計量 $T_{n} = T( X_{1}, X_{2}, \dots , X_{n} )$ を考える。

　$n$ を十分大きくしたときに $T_{n}$ の分散が 0 に近づくとき，$T_{n}$ は $\theta$ の 一致推定量 であるという。

\[ \lim_{n \to \infty} E\left [(T_n-\theta)^2\right ] = \lim_{n \to \infty} V\left [T_n\right] = 0 \]

　例えば，母平均 $\mu$，母分散 $\sigma^{2}$ の正規分布 $\mathcal{N}(\mu,\sigma^{2})$ に従う母集団から大きさ $n$ の標本を抽出したとき，

標本平均 $\bar{X}$，最頻値 $M_o$，中央値 $M_e$ は共に $\mu$ の一致推定量である。

演習問題：

　「$a$，$b$ が正数（ $a \ne b \gt 0$ )，$n$ が標本の大きさ，$\bar{X}$ が平均値であるとして，次式で定義される母平均 $\mu$ の推定量 $\tilde{X}$ は一致推定量の基準は満たすか。」

\[ \tilde{X} = \frac{n+a}{n+b}\bar{X},　　a \ne b \gt 0 \] 解答

応用問題：