名義尺度間の相関     Last modified: Mar 14, 2003

 $2$ 個の変数 $A$,$B$ がそれぞれ $k$ 個,$m$ 個のカテゴリーを持つとしたとき,$k \times m$ 個の桝目を持つ集計表(相関関係を見るときには特に相関表ともいう)を作成する。

表 1.$k \times m$ 分割表
要因 B
 $B_{1}$   $B_{2}$   $\dots$   $B_{j}$   $\dots$   $B_{m}$   合計 
 要因 A  $A_{1}$ 


$O_{1j}$

$n_{1 \cdot }$
 $A_{2}$ 


$O_{2j}$

$n_{2 \cdot }$





 $A_{i}$  $O_{i1}$ $O_{i2}$ $\dots$ $O_{ij}$ $\dots$ $O_{im}$ $n_{i \cdot }$





 $A_{k}$ 


$O_{kj}$

$n_{k \cdot }$
 合計  $n_{ \cdot 1}$ $n_{ \cdot 2}$ $\dots$ $n_{ \cdot j}$ $\dots$ $n_{ \cdot m}$ $n$

 表 1 のような $k \times m$ 分割表で,変数 $A$ の第 $i$ カテゴリー,変数 $B$ の第 $j$ カテゴリーの観察値を $O_{ij}$ とする。また,$n_{i \cdot }$ を第 $i$ 行の合計,$n_{ \cdot j}$ を第 $j$ 列の合計とする。 \[ E_{ij} = n\ \left (\frac{n_{i\cdot}}{n}\ \frac{n_{\cdot j}}{n} \right )= \frac{n_{i\cdot}\ n_{\cdot j}} {n} \]  全ての桝目について $\displaystyle \frac{( O_{ij} - E_{ij} ) ^{2}}{E_{ij}}$ の合計をとったものを $\chi^2_0$ とする (これは,独立性の検定に使用される)。 \[ \chi^2_0 = \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^m \frac{\left (O_{ij}-E_{ij} \right)^2}{E_{ij}} \]  $2$ 変数間の関連の強さは,$\chi^2_0$ から計算され,表 2 に示すようないくつかの指標がある。これらを総称して属性相関係数と呼ぶ。

 これらの属性相関係数はいずれも $\chi^2$ 統計量に基づくものであり,有意性の検定は上述の独立性の検定($\chi^2$ 検定)の結果と等価である。

表 2.関連の強さを表す指標
 係数    定義     取る値の範囲  
$\phi$ $\sqrt{\displaystyle \frac{\chi^2_0}{n}}$ $0$ 〜 $\sqrt{t-1}$
$C$ $\sqrt{\displaystyle \frac{\chi^2_0}{n+\chi^2_0}}$ $0$ 〜 $\sqrt{\displaystyle \frac{t-1}{t}}$
$V$ $\displaystyle \frac{\phi}{\sqrt{t-1}}$ $0$ 〜 $1$
$t = \min ( k , m ) $


演習問題

 「表 3 に示す分割表において,$\phi$ 係数,コンティンジェンシー係数,クラメール係数を求めなさい。」

表 3.$3 \times 3$ 分割表

 $y_{1}$   $y_{2}$   $y_{3}$   合計 
 $x_{1}$  5 7 19 31
 $x_{2}$  9 11 4 24
 $x_{3}$  15 10 1 26
 合計  29 28 24 81


問題1 $\chi^2_0$ を求めなさい。答えは小数点以下 4 桁目で四捨五入した値を解答欄に記入し,送信ボタンをクリックしなさい。

解答欄:    

問題2 $\phi$ 係数を求めなさい。答えは小数点以下 4 桁目で四捨五入した値を解答欄に記入し,送信ボタンをクリックしなさい。

解答欄:    

問題3 コンティンジェンシー係数 $C$ を求めなさい。答えは小数点以下 4 桁目で四捨五入した値を解答欄に記入し,送信ボタンをクリックしなさい。

解答欄:    

問題4 クラメール係数 $V$ を求めなさい。答えは小数点以下 4 桁目で四捨五入した値を解答欄に記入し,送信ボタンをクリックしなさい。

解答欄:    

応用問題


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