$2$ 個の変数 $A$，$B$ がそれぞれ $k$ 個，$m$ 個のカテゴリーを持つとしたとき，$k \times m$ 個の桝目を持つ集計表（相関関係を見るときには特に相関表ともいう）を作成する。

　表 1 のような $k \times m$ 分割表で，変数 $A$ の第 $i$ カテゴリー，変数 $B$ の第 $j$ カテゴリーの観察値を $O_{ij}$ とする。また，$n_{i \cdot }$ を第 $i$ 行の合計，$n_{ \cdot j}$ を第 $j$ 列の合計とする。 \[ E_{ij} = n\ \left (\frac{n_{i\cdot}}{n}\ \frac{n_{\cdot j}}{n} \right )= \frac{n_{i\cdot}\ n_{\cdot j}} {n} \] 　全ての桝目について $\displaystyle \frac{( O_{ij} - E_{ij} ) ^{2}}{E_{ij}}$ の合計をとったものを $\chi^2_0$ とする （これは，独立性の検定に使用される）。 \[ \chi^2_0 = \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^m \frac{\left (O_{ij}-E_{ij} \right)^2}{E_{ij}} \] 　$2$ 変数間の関連の強さは，$\chi^2_0$ から計算され，表 2 に示すようないくつかの指標がある。これらを総称して属性相関係数と呼ぶ。

• ファイ係数 $\phi$ は，$2 \times 2$ 分割表に適用された場合には，ピアソンの積率相関係数（の絶対値）に一致する。

  $\phi$ 係数は分割表の大きさ $t = \min ( k , m ) $ により上限が異なるので，$t$ の異なる分割表の間で関連の強さの比較ができない。

• コンティンジェンシー係数 $C$ は，分割表の大きさ $t$ が無限大になった場合には上限が $1$ になるが，やはり $t$ の異なる分割表の間で関連の強さの比較ができない。

• クラメール係数 $V$ は，分割表の大きさに関係なく，$0$ から $1$ の範囲の値をとるので，最も望ましいものといえる。

　これらの属性相関係数はいずれも $\chi^2$ 統計量に基づくものであり，有意性の検定は上述の独立性の検定（$\chi^2$ 検定）の結果と等価である。

演習問題：

　「表 3 に示す分割表において，$\phi$ 係数，コンティンジェンシー係数，クラメール係数を求めなさい。」

問題1　$\chi^2_0$ を求めなさい。答えは小数点以下 4 桁目で四捨五入した値を解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

解答欄：　　　　

問題2　$\phi$ 係数を求めなさい。答えは小数点以下 4 桁目で四捨五入した値を解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

解答欄：　　　　

問題3　コンティンジェンシー係数 $C$ を求めなさい。答えは小数点以下 4 桁目で四捨五入した値を解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

解答欄：　　　　

問題4　クラメール係数 $V$ を求めなさい。答えは小数点以下 4 桁目で四捨五入した値を解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

解答欄：　　　　

応用問題：