確率を求めるためには，全体の場合の数と，ある条件を満たす場合の数とを数え上げることが必要であるが，その際，順列・組合せの考え方が有用である（場合の数があまり大きくないときには，全ての場合を，漏れなく重複なく列挙するのが有効であり，非常に大きくなったときにも，その考え方は変わらないが，順列・組合せの考え方を用いると簡単である）。

順列

　$n$ 個の異なるものから，$r$ 個をとって 1 列に並べたものを，$n$ 個のものから $r$ 個をとる 順列 といい，この順列の総和を ${}_{n}P_{r}$ で表す。

\[ {}_{n}P_{r} = n\ (n-1)\ (n-1)\ \cdots (n-r+1) \] 　特に，${}_{n}P_{n} = n\ ( n - 1 )\ ( n - 2 )\ \cdots \ 3 \cdot 2 \cdot 1$ は 1 から $n$ までの自然数の積であり，$n !$ で表し，$n$ の 階乗 という。この記法を用いると，

\[ {}_{n}P_{r} = \frac{n !}{ ( n - r ) !} \] となる（ なお，$0 ! = 1$ と定義する ）。

例題：

　0，1，2， $\cdots$ ，9 の数字を書いた 10 枚のカードをよく切り，ランダムに 4 枚を抜き出して順に 1 列に並べる。このときできる整数が 7000 以上になる確率を求めよ。

解答：

• 1 番目の場所には，10 枚のカードのどれを入れてもよいから 10 通りの入れかたがある。

• 次にその各々の入れかたに対して，2 番目の場所には 1 番目に入れたものを除く 9 枚のどれを入れてもよいから 9 通りの入れかたがある。

• 同様にして，3 番目の場所には 8 通り，4 番目の場所には 7 通りの入れかたがある。

• したがって，できる整数は ${}_{10}P_{4} = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 5040$ 通りあることがわかる。

• 7000 以上の整数ができるためには，千の位にくるカードが 7，8，9 のいずれかであることが必要であり，そうであれば十分である。したがって，千の位には 3 通りの入れかたがある。

• 次に，その各々の入れかたに対して，百，十，一の位への入れかたは，千の位に入れた 1 枚を除く 9 枚から 3 枚をとる順列を考えればよい。

• したがって，条件を満たす整数の個数は，$3 \cdot {}_{9}P_{3} = 3\cdot 9\cdot 8\cdot 7 = 1512$ 個である。

• 各順列は全て同様の確からしさで起こるから，求める確率は $\displaystyle \frac{3 \cdot {}_{9}P_{3}}{{}_{10}P_{4}} = \frac{3}{10} = 0.3$ である。

重複順列

　$n$ 個の異なる種類のものから，繰り返しを許して $r$ 個をとるとき，得られる順列を，$n$ 個のものから $r$ 個をとる 重複順列 といい，その数は $n^{r}$ に等しく，${}_{n}\prod{}_{r}$ で表す。

例題：

　0，1，2， $\cdots$ ，9 の数字を書いた 10 枚のカードをよく切り，ランダムに 1 枚を抜き出す。カードをもとに戻し，よく切ってからもう一度ランダムに 1 枚を抜き出す。このような手順を 4 回繰り返して，引いたカードの数値を順に 1 列に並べる。このときできる整数が 7000 以上になる確率を求めよ。

解答：

• 1 番目の場所には 10 通りの入れかたがある。

• その各々に対して 2 番目の場所にも 10 通りの入れかたがある。

• 同様に，3，4 番目の場所にも 10 通りの入れかたがある。すなわち，${}_{10}\prod{}_{4} = 10^{4} = 10000$ 通りの可能性がある。

• 次に，7000 以上の整数が得られるのは，千の位に 7，8，9 が来るときで，その各々の入れかたに対して，百，十，一の位への入れかたは ${}_{10}\prod{}_{3} = 10^{3}$ 通りある。

• したがって，条件を満たす整数の個数は，$3 \cdot {}_{10}\prod{}_{3} = 3\times 10^{3} = 3000$ 個である。

• 各順列は全て同様の確からしさで起こるから，求める確率は $\displaystyle \frac{3 \cdot {}_{10}\prod{}_{3}}{{}_{10}\prod{}_{4}} = \frac{3}{10} = 0.3$ である。

組合せ

　$n$ 個の異なるものから，$r$ 個をとってできる組を，$n$ 個のものから $r$ 個をとる 組合せ といい，この総数を ${}_{n}C_{r}$ または $\displaystyle {n \choose r}$ で表す。

\[ {}_{n}C_{r} = {n \choose r} = \frac{n!}{r!\ (n-r)!} \] となり，${}_{n}C_{0} = 1$ となることもわかる。

例題：

　52 人のクラスで，うち 17 人は女子である。このクラスで，くじ引きによって 4 人の委員を選ぶとき，4 人とも女子になる確率を求めよ。

解答：

• 52 人から 4 人を選ぶ選び方は ${}_{52}C_{4}$ 通りある。

• 4 人の委員が全員女子である組み合わせは${}_{17}C_{4}$ 通りある。

• 各組あわせは同様の確からしさで起こるから，求める確率は $\displaystyle \frac{{}_{17}C_{4}}{{}_{52}C_{4}} = 0.0087912$ である。

重複組合せ

　$n$ 個の異なるものから，繰り返しを許して $r$ 個をとってできる組合せを，$n$ 個のものから $r$ 個をとる 重複組合せ といい，この総数を ${}_{n}H_{r}$ で表す。

\[ {}_{n}H_{r} = {}_{n + r - 1}C_{r} \]

演習問題-1：

赤，青，緑，白の 4 色を使って下図のような三色旗を作る。

問題1　何種類の三色旗ができるか。答えを解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

解答欄：　　　　

問題2　赤の含まれていない三色旗ができる確率はいかほどか。答えは小数点以下 3 桁目で四捨五入した値を解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

解答欄：　　　　

演習問題-2：

　袋の中に黒と白の碁石がそれぞれ $5$ 個ずつ入っている。この中から碁石を 3 つ取り出したときに，全てが黒である確率を求めなさい。答えは小数点以下 4 桁目で四捨五入した値を解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

解答欄：　　　　

応用問題：（ヒントが必要なときは，二項分布を参照しなさい）

　袋の中に黒と白の碁石がそれぞれ $50$ 個ずつ入っている。この中から碁石を 1 つ取り出し，色を確認後もとへ戻し，よく混ぜ合わす。この作業を 5 回繰り返したときに，黒の碁石が 2 回取り出される確率を小数点以下 4 桁まで正確に求め，答えを解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

解答欄：