2 つの事象 A，B があるとき，

を ベイズの定理 という。

　一般的には，B が r 個の排反事象に分かれるとき，観察された事象 A の原因が B_i である確率は，

となる。Pr｛B_i｝ は 事前確率，Pr｛B_i | A｝ は 事後確率 と呼ばれる。

　例えば，A が女性であること，B_i が学年（ i = 1,2,3,4 ）としたとき，Pr｛B_i | A｝ は，ランダムに抽出した学生が女子学生であるとわかったとき，その学生が B_i 学年である確率を表す。

　事前にわかっている確率は Pr｛B_i｝， Pr｛A | B_i｝ だけでよい。

　事後にわかった事実 “女子である” ということから，事後確率 Pr｛B_i | A｝ を得ようとするのが問題の趣旨である。

　2 年生の女子である確率 Pr｛B₂ ∩ A｝ = 45 / 510 は，2 年生である確率 Pr｛B₂｝ = 121 / 510 と 2 年生であるという条件付きでの女子である確率 Pr｛A | B₂｝ = 45 / 121 を用いて乗法定理の ( 2 ) 式から，

　　Pr｛B₂ ∩ A｝
　　= Pr｛B₂｝ ・ Pr｛A | B₂｝
　　= 121 / 510 ・ 45 / 121
　　= 45 / 510　　…… ( 4 )

である。

　女子であるという条件付きでの 2 年生である確率 Pr｛B₂ | A｝ は，乗法定理の ( 1 ) 式から，

　　Pr｛B₂ | A｝= Pr｛B₂ ∩ A｝/ Pr｛A｝

であり，（ 4 ）式および，

　　Pr｛A｝
　　= Pr｛B₁ ∩ A｝ + Pr｛B₂ ∩ A｝ + Pr｛B₃ ∩ A｝ + Pr｛B₄ ∩ A｝
　　= 36 / 510 + 45 / 510 + 43 / 510 + 39 / 510
　　= 163 / 510

であるから，

　　Pr｛B₂ | A｝
　　= （ Pr｛B₂｝ ・ Pr｛A | B₂｝）/ Pr｛A｝
　　= （121 / 510 ・ 45 / 121）/（163 / 510）
　　= 0.2761

となる。

演習問題：

　日本人の成人男子が，ある病気にかかる割合は血液型により異なり，O 型では 3%，A 型では 6%，B 型では 10%，AB 型では 7% であるとする。
　日本人の血液型は男女で差がなく，O 型は 30%，A 型は 38%，B 型は 22%，AB 型は 10% であるとする。
　この病気にかかった成人男子が O 型である確率を求めなさい。

　以下では，血液型が O，A，B，AB 型であるという事象をO，A，B，AB とし，病気であるという事象を X とする。

問題1　Pr｛X | O｝の値を解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

解答欄：　　　　

問題2　Pr｛O ∩ X｝の値を解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

解答欄：　　　　

問題3　Pr｛X｝を求めなさい。答えは小数点以下 5 桁目で四捨五入した値を解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

解答欄：　　　　

問題4　Pr｛O | X｝を求めなさい。答えは小数点以下 4 桁目で四捨五入した値を解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

解答欄：　　　　

応用問題：