2 つの事象 $A$，$B$ があるとき， \[ \Pr\{B\ |\ A\} = \frac{\Pr\{A\cap B\}}{\Pr\{A\}} = \frac{\Pr\{B\}\times \Pr\{A\ |\ B\}}{\Pr\{B\}\times\Pr\{A\ |\ B\}+\Pr\{\bar{B}\}\times\Pr\{A\ |\ \bar{B}\}} \] を ベイズの定理 という。

　一般的には，$B$ が $r$ 個の排反事象に分かれるとき，観察された事象 $A$ の原因が $B$_i である確率は， \[ \Pr\{B_i\ |\ A\} = \frac{\Pr\{A\cap B_i\}}{\Pr\{A\}} = \frac{\Pr\{B_i\}\times \Pr\{A\ |\ B_i\}}{\displaystyle \sum_{j=1}^r \Pr\{B_j\}\times\Pr\{A\ |\ B_j\}} \] となる。$\Pr\{B_i\}$ は 事前確率，$\Pr\{B_i\ |\ A\}$ は 事後確率 と呼ばれる。

　例えば，$A$ が女性であること，$B_i$ が学年（ $i = 1,2,3,4$ ）としたとき，$\Pr\{B_i\ |\ A\}$ は，ランダムに抽出した学生が女子学生であるとわかったとき，その学生が $B_i$ 学年である確率を表す。

　事前にわかっている確率は $\Pr\{B_i\}$， $\Pr\{A\ |\ B_i\}$ だけでよい。

　事後にわかった事実 “女子である” ということから，事後確率 $\Pr\{B_i\ |\ A\}$ を得ようとするのが問題の趣旨である。

　2 年生の女子である確率 $\Pr\{B_2 \cap A\} = 45\ /\ 510$ は，2 年生である確率 $\Pr\{B_2\} = 121\ /\ 510$ と 2 年生であるという条件付きでの女子である確率 $\Pr\{A\ |\ B_2\} = 45\ /\ 121$ を用いて乗法定理の ( 2 ) 式から，

\[ \begin{align*} \Pr\{B_2 \cap A\} &= \Pr\{B_2\} \times \Pr\{A\ |\ B_2\} \\[5pt] &= \frac{121}{510} \times \frac{45}{121} \\[5pt] &= \frac{45}{510} \tag{4} \end{align*} \] である。

　女子であるという条件付きでの 2 年生である確率 $\Pr\{B_2\ |\ A\}$ は，乗法定理の ( 1 ) 式から，

\[ \Pr\{B_2\ |\ A\} = \frac{\Pr\{B_2 \cap A\}}{\Pr\{A\}} \] であり，（ 4 ）式および，

\[ \begin{align*} \Pr\{A\} &= \Pr\{B_1 \cap A\} + \Pr\{B_2 \cap A\} + \Pr\{B_3 \cap A\} + \Pr\{B_4 \cap A\} \\[5pt] &= \frac{36}{510} + \frac{45}{510} + \frac{43}{510} + \frac{39}{510} \\[5pt] &= \frac{163}{510} \end{align*} \] であるから，

\[ \begin{align*} \Pr\{B_2\ |\ A\} &= \frac{\Pr\{B_2\} \times \Pr\{A\ |\ B_2\}}{\Pr\{A\}} \\[5pt] &= \frac{\displaystyle \frac{121}{510} \times \displaystyle \frac{45}{121}}{\displaystyle \frac{163}{510}} \\[5pt] &= 0.2761 \end{align*} \] となる。

演習問題：

　日本人の成人男子が，ある病気にかかる割合は血液型により異なり，O 型では 3%，A 型では 6%，B 型では 10%，AB 型では 7% であるとする。
　日本人の血液型は男女で差がなく，O 型は 30%，A 型は 38%，B 型は 22%，AB 型は 10% であるとする。
　この病気にかかった成人男子が O 型である確率を求めなさい。

　以下では，血液型が O，A，B，AB 型であるという事象を$O$，$A$，$B$，$AB$ とし，病気であるという事象を $X$ とする。

問題1　$\Pr\{X\ |\ O\}$ の値を解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

解答欄：　　　　

問題2　$\Pr\{O \cap X\}$ の値を解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

解答欄：　　　　

問題3　$\Pr\{X\}$ を求めなさい。答えは小数点以下 5 桁目で四捨五入した値を解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

解答欄：　　　　

問題4　$\Pr\{O\ |\ X\}$ を求めなさい。答えは小数点以下 4 桁目で四捨五入した値を解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

解答欄：　　　　

応用問題：