K 群の比率の差の検定・多重比較( 対比較 )
     テューキーの方法
     Last modified: Apr 15, 2004

 $k \times 2$ 分割表で全体としての比率の差がないときは,多重比較は行わない。


例題

 「表 1 のようなデータにおいて,5 群の陽性率の差を多重比較により検討しなさい。有意水準 $5\%$ とする。」

表 1.数値例
陽性 陰性 合計 陽性率
第 $1$ 群 2 28 30 0.067
第 $2$ 群 4 31 35 0.114
第 $3$ 群 14 33 47 0.298
第 $4$ 群 13 8 21 0.619
第 $5$ 群 39 6 45 0.867


検定手順:

  1. テューキーの方法では,$k \times 2$ 分割表の比率の $\chi^2$ 検定の結果,全体として差が認められる場合にのみ対比較が行われる。

    例題では,$\chi^2$ 検定統計量が $72.5872$(自由度 $= 4$)となる。有意確率は $0.001$ 未満であるから,全体として比率の差があるといえる。したがって,対比較によって,どの群間で差があるかを検討する。

  2. 前提

  3. 比率の対比較に関するテューキーの方法では,ステューデント化した範囲の表を用いる。

  4. 比率の差の検定は,以下のように行う。

    1. 比較する $2$ 個の比率を $P_{i}$,$P_{j}$ としたとき,$P_{i} \geqq P_{p} \geqq P_{j}$ を満たす群の平均比率 $P$ は,対象となる群においてある属性を持つケース数の合計 $\sum r$ と,対象となる群のケース数の合計 $\sum n$ の比で定義される。 \[ P = \frac{\sum r}{\sum n} \]
    2. $P_{i}$ と $P_{j}$ の差の標準誤差 SE を求める。 \[ SE = \sqrt{P\ (1-P)\ \biggl( \frac{1}{n_i} + \frac{1}{n_j} \biggr)} \]
    3. ステューデント化した範囲の表から,群の数 $m$,自由度 $\infty$ に対する値を読みとる。これを $q$ とする。

    4. $WSD$( wholly signifivant difference )を求める。 \[ WSD = \frac{q\times SE}{\sqrt{2}} \]
    5. 帰無仮説の採否を決める。

      • $P_{i} - P_{j} \lt WSD$ のとき,帰無仮説を採択する。「母比率に差があるとはいえない」。

      • $P_{i} - P_{j} \geqq WSD$ のとき,帰無仮説を棄却する。「母比率に差がある」。

  5. 対比較は,以下のように行われる。

    1. まず,比率が最大である群と,最小である群について検定を行う。このとき,$m = k$ である。$WSD$ を計算するときの $q$ の値としては,$k$ に対応するステューデント化した範囲の値 $q_{k}$ を用いる。もし有意差なしならば,検定終了。結論は「個々の比率の対に差はない」とする。もし有意差ありならば,次へ進む。

      例題では,第 $1$ 群の比率 $P_{1} = 0.067$ と 第 $5$ 群の比率 $P_{5} = 0.867$ を比較する。

      $P_{5} \geqq P_{p} \geqq P_{1}$ を満たすのは $1$ 〜 $5$ 群 の全てであるから,$\sum r = 72$,$\sum n = 178$ より,平均比率は $p = 72\ /\ 178 = 0.4044944$,差の標準誤差は $SE = 0.11568$ である。

      ステューデント化した範囲の表から,$q = 3.8577$ ゆえ,$WSD = 0.3155560$。両群の比率の差 $0.8 \gt WD = 0.3155560$ なので「第 $1$ 群と第 $5$ 群の比率には差がある」と結論する。

    2. $m = k - 1$ となるような 2 個の比率の比較を行う。このような比率の組合せは $2$ 通りある。すなわち,最大の比率 vs. $2$ 番目に小さい比率,$2$ 番目に大きい比率 vs. 最小の比率の検定を行うことになる。この場合,$WSD$ を計算するときの $q$ の値としては,$m$ に対応するステューデント化した範囲の値 $q_{m}$ と,$k$ に対応するステューデント化した範囲の値 $q_{k}$ の平均値を用いる。すなわち,$q = \displaystyle \frac{ q_{m} + q_{k} }{2}$ とする。

      例題では,第 $2$ 群と第 $5$ 群,第 $1$ 群と第 $4$ 群の比較を行う。$q = \displaystyle \frac{ 3.6332 + 3.8577 }{2} = 3.74545$。

      まず,第 $2$ 群と第 $5$ 群では,比率の差 $= 0.7523810 \gt WSD = 0.2980083$ なので,「第 $2$ 群と第 $5$ 群の比率には差がある」と結論する。

      次に,第 $1$ 群と第 $4$ 群では,比率の差 $= 0.5523810 \gt WSD = 0.3254686$ なので,「第 $1$ 群と第 $4$ 群の比率には差がある」と結論する。

    3. $m = k - 2, k - 3, \dots , 2$ となるような $2$ 個の比率の比較を行う。ここで注意すべきことは,対象となる $2$ 個の比率が,それまでの検定実施の過程で有意差なしとされた比率に挟まれている場合には,検定を実施せずに有意差なしと結論する。例えば,$P_{a} \geqq P_{b} \geqq P_{c} \geqq P_{d}$( $a = b$ または $c = d$ の場合を含む )で,$a$ 群と $d$ 群の比率に有意差がなかったとしたら,無条件に $a : b, a : c, b : c, b : d, c : d$ 群にも比率に有意差がないとする。これは,前述( i )の検定結果に対する解釈規定と同じである。

 以上のようにして得られた全ての結論,すなわち「群 $x$ と群 $y$,群 $u$ と群 $v \dots$ に比率の差が認められた。その他の比率の組合せには有意差は認められなかった」は,全体としての有意水準が $\alpha$ になる。

 例題では,以下のようにまとめることができる。以下に示される組合せ以外の群間には比率の差はない。

比較する群 比率の差 WSD 判定
第 $5$ 群 vs. 第 $1$ 群0.80000000.3155560有意な差
第 $5$ 群 vs. 第 $2$ 群0.75238100.2980083有意な差
第 $4$ 群 vs. 第 $1$ 群0.55238100.3254686有意な差
第 $5$ 群 vs. 第 $3$ 群0.56879430.2606685有意な差
第 $4$ 群 vs. 第 $2$ 群0.50476190.3210463有意な差
第 $3$ 群 vs. 第 $1$ 群0.23120570.2269520有意な差
第 $4$ 群 vs. 第 $3$ 群0.32117530.3010208有意な差


演習問題


応用問題


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