母相関係数の信頼限界     Last modified: Nov 07, 2002

例題

 「標本の大きさが 24,ピアソンの積率相関係数が 0.476 のとき,9$5\%$ 信頼区間を求めなさい。」


推定手順

  1. 記号の定義

    標本の大きさを $n$,相関係数を $r$,信頼率を $A$ とする

    例題では,$n = 24$,$r = 0.476$,$A = 0.95$ である。

  2. $(1-\alpha) 100 \%$ 信頼限界を求める。信頼率に対応する $\alpha$ を求めておく($\alpha = 1-A$)。

    例題では,$\alpha = 0.05$ である。

  3. 正規分布で,上側確率が $\alpha/2$ に対するパーセント点を $Z_{\alpha/2}$ とする。
    正規分布表,または 正規分布のパーセント点の計算を参照すること。

    例題では,$Z_{\alpha/2} = 1.96$ である。

  4. 標本相関係数の $Z$ 変換値を $\xi_{r}$ とする。
    $Z$ 変換値は,次式によって求める(この変換は,フィッシャーの $Z$ 変換と呼ばれる。また,数学的にはこの関数は双曲線逆正接と呼ばれ,コンピュータでは atanh 関数を使って求めることができる。)。 \[ Z = f(r) =\frac{1}{2}\ln \left( \frac{1+r}{1-r} \right) \] 例題では,$\xi_{r} = 0.51780$ である。

  5. 次式により,$Z_{U}$,$Z_{L}$ を求める。 \[ Z_{U} =\xi_r+\frac{Z_{\alpha/2}}{\sqrt{n-3}} \] \[ Z_{L} =\xi_r-\frac{Z_{\alpha/2}}{\sqrt{n-3}} \] 例題では,$Z_{U} = 0.94551$,$Z_{L} = 0.09009$ である。

  6. フィッシャーの $Z$ 変換の逆変換(次式。また,数学的にはこの関数は双曲線正接と呼ばれ,コンピュータでは tanh 関数を使って求めることができる)を用いて,上側信頼限界 $f ^{-1} ( Z_{U} )$,下側信頼限界 $f ^{-1} ( Z_{L} )$ を求める。 \[ r = f^{-1}(Z) = \frac{\exp(2\,Z)-1}{\exp(2\,Z)+1} \] 例題では,上側信頼限界値 $= 0.73774$ 下側信頼限界値 $= 0.08985$ を得る。


演習問題


応用問題


・ 計算プログラム [R]
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