Last modified: Nov 07, 2002

例題：

　「標本の大きさが 24，ピアソンの積率相関係数が 0.476 のとき，母相関係数が 0.3 であるかどうか検定しなさい。」

検定手順：

1. 前提
   • 帰無仮説 $H_0$：「母相関係数 $\rho = X\ ( \ne 0 )$」。
   • 対立仮説 $H_1$：「母相関係数 $\rho \ne X\ ( \ne 0 )$」。
   • 有意水準 $\alpha$ で両側検定を行う（片側検定も定義できる）。

2. 標本の大きさ（データの組数）を $n$，標本相関係数を $r$ とする。

   例題では，$n = 24$，$r = 0.476$，$\rho = 0.3$ である。

3. 標本相関係数および母相関係数の $Z$ 変換値を $\xi_{r}$ ，$\xi_{\rho}$ とする。
   $Z$ 変換値は，次式によって求める（この変換は，フィッシャーの $Z$ 変換と呼ばれる）。 \[ Z = f(r) =\frac{1}{2}\ln \left( \frac{1+r}{1-r} \right) \] 例題では，$\xi_{r} = 0.51780$，$\xi_{\rho} = 0.30952$ となる。

4. 次式により，検定統計量 $Z_{0}$ を求める。$Z_{0}$ は，正規分布に従う。 \[ Z_0 = \frac{\left |\ \xi_r-\xi_\rho \ \right |} {1\ /\ \sqrt{n-3}} \] 例題では，$Z_{0} = 0.95446$ になる。

5. 有意確率を $P = \Pr\{|\,Z\,| \geqq Z_{0}\}$ とする。
   正規分布表，または正規分布の両側確率の計算を参照すること。

   例題では，$\Pr\{|\,Z\,|\geqq 1.96\}= 0.05$ なので，$P = \Pr\{|\,Z\,|\geqq 0.95446\}\gt 0.05$ である（正確な有意確率：$P = 0.33985$）。

6. 帰無仮説の採否を決める。
   • $P \gt \alpha$ のとき，帰無仮説は棄却できない。「母相関係数が $X$ でないとはいえない」。
   • $P \leqq \alpha$ のとき，帰無仮説を棄却する。「母相関係数は $X$ ではない」。

   例題では，有意水準 $5\%$ で検定を行うとすれば（$\alpha = 0.05$），$P \gt \alpha$ であるから，帰無仮説は棄却できない。すなわち，「母相関係数は $0.3$ でないとはいえない」。

演習問題：

　「12 匹の魚について体長と体重の相関係数を求めたところ 0.341 であった。母相関係数が 0.2 ではないといえるかどうか検定しなさい。」

問題1　帰無仮説はどれか。a，b のいずれかを解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

選択肢
a：母相関係数は 0.2 である
b：母相関係数は 0.2 ではない

解答欄：　　　　

問題2　標本相関係数に対するフィッシャーの $Z$ 変換値 $\xi_{r}$ を求めなさい。答えは小数点以下 4 桁目で四捨五入した値を解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

解答欄：　　　　

問題3　検定統計量 $Z_{0}$ を求めなさい。答えは小数点以下 4 桁目で四捨五入した値を解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

解答欄：　　　　

問題4　有意確率は 0.05 より大きいか小さいか。a，b のいずれかを解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

選択肢
a：0.05 より大きい
b：0.05 より小さい

解答欄：　　　　

問題5　有意水準 $5\%$ で検定を行うとき，帰無仮説は棄却できるかできないか。a，b のいずれかを解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

選択肢
a：棄却できる
b：棄却できない

解答欄：　　　　

問題6　最終的な結論はどうなるか。a，b のいずれかを解答欄に記入し，送信ボタンをクリックしなさい。

選択肢
a：母相関係数が 0.2 でないとはいえない
b：母相関係数は 0.2 ではない

解答欄：　　　　

応用問題：