例題：

　「表 1 のような度数分布表に，正規分布をあてはめなさい。」

　観察されたデータが正規分布に従うかどうかは，度数分布表を作成することにより行われる。累積相対度数を 正規確率紙と呼ばれるグラフ用紙に描き，それが直線になれば正規分布であることを意味する（正規確率紙は縦軸に累積相対度数 % を目盛るが，その間隔は等間隔ではない。例えば，$a\%$ と $b\%$ という目盛り間の距離が $\Pr\{Z \gt a\}$ と $\Pr\{Z \gt b\}$ の差であるように目盛られている。累積確率 $F ( x )$ から $T$ 得点を求める表参照）。

　表 1 の度数分布表データをプロットしたものを図 1 に示す。

図 1．正規確率紙による正規性の確認

　しかし，正規確率紙にプロットする方法は目視によるので正確ではない。 解析的には以下のように行う（どの程度よく適合しているかは適合度の検定を行う必要がある）。

計算手順:

1. $n$ 個のケースが，$k$ 個のカテゴリーに分類されているとする。

   例題では，$n = 426$, $k = 7$ である。

2. 与えられた度数分布表から，母平均と母分散の推定値 $\bar{X}$，$V$ を推定する。

   各階級の中心点を $X_{i}$，観測度数を $f_{i}$ とすれば， \[ n = \sum_{i=1}^k\ f_i \] \[ \bar{X} = \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^k\ f_i\ X_i}{n} \] \[ V = \frac{\displaystyle n\sum_{i=1}^k\ f_i\ X_i^2-\left ( \sum_{i=1}^k\ f_i\ X_i \right ) ^2}{n^2} \] である。

   例題では，平均値$\ = 57.9312$，標準偏差$\ = 5.1335$ である。

3. 以下のいずれかの方法をとる。

   注：正規分布とどの程度一致するか（ しないか ）を度数分布図に示すには，方法 B のほうがよい。 ただし，この方法によった場合には，理論度数の合計は $n$ に等しくならない。

   • 方法 A ・・・・・面積を計算する　注：正規分布の適合度検定も参照のこと
     1. 第 $i$ 階級と第 $i + 1$ 階級の限点を $X_{i}'$，その標準化得点を $Z_{i}$ とする。 \[ Z_i = \frac{X_i'-\bar{X}}{\sqrt{V}} \]
     2. 各 $Z_{i}$ から $Z \lt Z_{i}$ となる確率 $P_{i}$ を求め，差をとることにより各階級の確率 $p_{i} = P_{i} - P_{i-1}\ ( i = 2, 3, \dots , k - 1 )$ を求める。$p_{1} = \Pr\{Z \lt Z_{1} ) ，p_{k} = 1 - ( p_{1} + p_{2} + \dots + p_{k - 1} )$ 。

     3. 理論度数は，$E_{i} = n\ p_{i}$ となる。

   • 方法 B ・・・・・密度関数から求める
     1. 第 $i$ 階級の中心を $X_{i}'$，その標準化得点を $Z_{i}$ とする。 \[ Z_i = \frac{X_i'-\bar{X}}{\sqrt{V}} \]
     2. 階級幅を $h$ とすれば，各階級の理論度数は， \[ E_i = \frac{\exp(-0.5\ Z_i^2)}{\sqrt{2\ \pi}}\ \frac{n\ h}{\sqrt{V}} \]

　下限点，上限点，級中心は図 2 に示すように決める。例題では，測定精度$\ = 0.1$，階級幅$\ = 5$ である。

　$z$ は各階級の上限点に対する標準化得点，$z'$ は級中心に対する標準化得点。

図 2．限点・級中心の定義

　あてはめ結果は以下のようになる。

図 3．正規分布へのあてはめ例（ 方法 A ）

図 4．正規分布へのあてはめ例（ 方法 B ）

演習問題：

応用問題：