問題

　「5 人兄弟の同胞 100 組を選んで，これら各組ごとに男子の数を調べたところ，表 1 のようになった（ 男子の数 $x$ と実測度数 $f_{i}$ の欄 ）。このデータに対して，理論分布としての二項分布をあてはめなさい。」

解答

　5 人からなる同胞の無限母集団を想定し，この母集団における男子の出生率を $p$ とすれば，このような母集団の中から，大きさ 5 である標本を抽出すると，男子の数 $x$ の理論分布は，解析的に

\[ f ( x ) = {}_{5}C_{x}\ p^{x} q^{5 - x} \] で与えられる。しかし，この際の $p$ の値は未知である。したがって，$\mu = 5\ p$ の値もまた，未知である。

　そこで，母平均 $\mu$ を推定値（ この場合には標本平均 $\bar{X}$ ）で置き換えることにする。$\bar{X} = 2.84$ と計算されるから，母平均は $2.84$ と推定される。

　したがって，$p$ の推定値 $\hat{p}$ は \[ \hat{p} = 2.84 / 5 = 0.568 \] となる。この $\hat{p}$ を代入して， \[ f ( x ) = {}_{5}C_{x}\ 0.568^{x}\ 0.432^{5 - x} \] が得られる。

• この例題でのように，ある経験分布に理論分布をあてはめる場合には，未知の母数は，それに対応する標本統計量で置き換えるのが定石である。

• 実際問題として，具体的なデータに理論的な諸分布をあてはめる必要があるのは次の二つの場合である。
  1. ある経験的な分布 $F_{n} ( x )$ が特定の理論分布 $F ( x )$ をとるかどうかに関し，その $F ( x )$ のタイプを実験的に模索する場合である。しかし $F ( x )$ と $F_{n} ( x )$ とが外見上の姿が似ているといっても，直ちに $F_{n} ( x )$ の基本構造までが $F ( x )$ に一致していると決めてしまうのは正しくない。また，どの程度うまく一致しているかは，適合度の検定を行う必要がある。
     1. 期待度数が 1 未満となるカテゴリーがないのでカテゴリーを併合する必要はない。
     2. カイ二乗値$\ = \sum($実測度数$-$期待度数$)^2\ /\ $期待度数 を計算すると $4.0075754$ となる。
     3. これが，自由度 4 のカイ二乗分布に従う（自由度＝カテゴリー数$-1-$推定したパラメータ数，推定したパラメータは母比率だけなので $6-1-1 = 4$ となる）。
     4. $P$ 値は $\Pr\{$カイ二乗値$\ \gt 4.0075754\} = 0.4049816$ となる。
     5. 有意水準 $\alpha$ を $5\%$ とする。
     6. $P$ 値$\ \gt \alpha$ ゆえ，「母分布が二項分布である」という帰無仮説は棄却できない。
  2. $F ( x )$ に対応する $F_{n} ( x )$ を補正する（ ならす ）とき。

• 分布のあてはめにおいては，標本の大きさが 50 〜 60 以上である必要がある。またその際には階級分け・階級の幅を適切に設定する必要がある。