大きさ $N$ の母集団で，特性 A を持つものの割合を $p$ とする。この母集団から $x$ 個目の標本を取り出したときにちょうど特性 A を持つ標本が $r$ 個になる確率を考える。

1. $N$ から $x - 1$ を選ぶ方法は，${}_{N}C_{x - 1}$ 通り

2. $N\ p$ から $r - 1$ を選ぶ方法は，${}_{N\ p}C_{r - 1}$ 通り

3. $N\ q$ から $x - r$ を選ぶ方法は，${}_{N\ q}C_{x - r}$ 通り

4. $x$ 番目に，特性 A を持つものを選ぶ確率は $\displaystyle \frac{ N\ p - r + 1} {N - x + 1 }$

　したがって，求める確率は次式で表される。 \[ f(x) = \frac{\displaystyle {N\ p \choose r-1} \times {N\ q \choose x-r}}{\displaystyle {N \choose x-1}} \times \frac{ N\ p - r + 1} {N - x + 1 } = \frac{\displaystyle {x-1 \choose r-1}\times{N-x \choose N\ p-r}} {\displaystyle {N \choose N\ p}} \]

図 1．負の超幾何分布の概形

　この分布は負の超幾何分布と呼ばれ，$N \rightarrow \infty$ のときには，負の二項分布に一致する。

演習問題：

応用問題：