例題：

　「10 人の被検者について，ある測定値を得た。同じ被検者に対して，1 年後にもう一度測定した。その結果を表 1 に示す。1 年間で平均値に差があったかどうか検定しなさい。」

検定手順:

1. 前提
   • 帰無仮説 $H_0$：「母平均値に差はない」。
   • 対立仮説 $H_1$：「母平均値に差がある」。
   • 有意水準 $\alpha$ で両側検定を行う（片側検定も定義できる）。

2. $n$ ケースの，対応のある $2$ 変数を $X_{i}$，$Y_{i}$，両者の差を $d_{i} = X_{i} - Y_{i}$ とする（$i = 1，2，\dots ，n$）。

   例題では，$n = 10$，$d_{1} = -4$，$d_{2} = 17$，$\dots$，$d_{10} = 19$ である（表 1 の 4 行目）。

3. 以下の式で検定統計量 $t_{0}$ を計算する。

   \[ t_0 = \frac{\left |\ \bar{d}\ \right |}{\sqrt{\displaystyle \sum_{i=1}^n (d_i-\bar{d})^2}\ \Bigm /\ \sqrt{n\ (n-1)}} \] 例題では，$t_{0} = 0.5245275$ である。

4. $t_{0}$ は，自由度が $n - 1$ の $t$ 分布に従う。

   例題では，自由度は $9$ である。

5. 有意確率を $P = \Pr\{｜t｜\geqq t_{0}\}$ とする。
   $t$ 分布表，または $t$ 分布の上側確率の計算を参照すること。

   例題では，$\Pr\{｜t｜\geqq 2.262\}= 0.05$ であるから，$P = \Pr\{｜t｜\geqq 0.5245275\}\gt 0.05$ である（正確な有意確率：$P = 0.612584$ ）。

6. 帰無仮説の採否を決める。
   • $P \gt \alpha$ のとき，帰無仮説は棄却できない。「母平均値に差があるとはいえない」。
   • $P \leqq \alpha$ のとき，帰無仮説を棄却する。「母平均値に差がある」。

   例題では，有意水準 $5\%$ で検定を行うとすれば（$\alpha = 0.05$），$P \gt \alpha$ であるから，帰無仮説は棄却できない。すなわち，「平均値に差があるとはいえない」。

演習問題：

応用問題：