例題：

　「ある製造ラインから製造される製品 10 個の重量を測定したとき，標本不偏分散が 4.5 であった。母分散の 95% 信頼区間を求めなさい。」

推定手順:

　母平均が既知か未知かでいずれかの方法をとる。

• 母平均が未知の場合
  1. 母分散が $\sigma^2$ の正規母集団から抽出された $n$ ケースの不偏分散を $U$ とすると，母分散は次式のように表せる。

     \[ \sigma^2 = \frac{(n-1)U}{\chi^2_0} \]

  2. 自由度が $n - 1$ の $\chi^2$ 分布において，下側・上側の確率が $\alpha\ /\ 2$ となるパーセント点をそれぞれ $\chi^2_L$，$\chi^2_U$ とする。
     例題では，自由度が $9$ で，$\chi^2_L = 2.70039$，$\chi^2_U = 19.0228$ となる。 $\chi^2$ 分布表，または $\chi^2$ 分布のパーセント点の計算を参照すること。

  3. 信頼限界は次式で与えられる。

     \[ \text{下側信頼限界} = \frac{(n-1)U}{\chi^2_U} \] \[ \text{上側信頼限界} = \frac{(n-1)U}{\chi^2_L} \] 例題では，下側信頼限界は $2.1290$，上側信頼限界は $14.9978$ である。

• 母平均が既知の場合
  1. 母平均が $\mu$，母分散が $\sigma^2$ の正規母集団からケース数 $n$ の標本が抽出されたとき，母分散は次式のように表せる。

     \[ \sigma^2 = \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^n(X_i-\mu)^2}{\chi^2_0} \]

  2. 自由度が $n$ の $\chi^2$ 分布において，下側・上側の確率が $\alpha\ /\ 2$ となるパーセント点をそれぞれ $\chi^2_L$，$\chi^2_U$ とする。
     $\chi^2$ 分布表，または $\chi^2$ 分布のパーセント点の計算を参照すること。

  3. 信頼限界は次式で与えられる。

     \[ \text{下側信頼限界} = \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^n(X_i-\mu)^2}{\chi^2_U} \] \[ \text{上側信頼限界} = \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^n(X_i-\mu)^2}{\chi^2_L} \]

演習問題：

応用問題：