行列

行列　　　　　Last modified: Aug 28, 2015

行列は $\mathbf{X}$ のように太い英大文字で表す。
以下に示す行列 $\mathbf{X}$ は，「3 行 4 列の行列」という。「4 要素を持つ行ベクトルが 3 個ある」と考えてもよいし，「3 要素を持つ列ベクトルが 4 個ある」と考えてもよい。
行数と列数が同じである行列を正方行列と呼ぶ。
ベクトルは行列の一種である。
\[ \mathbf{X} = \left ( \begin{array}{c} (\ x_{11} ,\, x_{12} ,\, x_{13} ,\, x_{14}\ )\\ (\ x_{21} ,\, x_{22} ,\, x_{23} ,\, x_{24}\ )\\ (\ x_{31} ,\, x_{32} ,\, x_{33} ,\, x_{34}\ ) \end{array} \right ) = \left ( \begin{array}{cccc} x_{11} & x_{12} & x_{13} & x_{14}\\ x_{21} & x_{22} & x_{23} & x_{24}\\ x_{31} & x_{32} & x_{33} & x_{34} \end{array} \right ) \]
元の行列 $\mathbf{A}$ の行と列を入れ替えた行列を転置行列 $\mathbf{A}'$ という。 \[ \mathbf{A} = \left ( \begin{array}{ccc} a & b & c \\ d & e & f \\ \end{array} \right )，　 \mathbf{A}' = \left ( \begin{array}{cc} a & d \\ b & e \\ c & f \end{array} \right ) \]
下のような，対角要素が 0 以外の値で，それ以外の要素が 0 である行列を 対角行列 と呼ぶ。
\[ \mathbf{D} = \left ( \begin{array}{ccc} t_{11} & 0 & 0\\ 0 & t_{22} & 0\\ 0 & 0 & t_{33} \end{array} \right ) \]
下のような，対角要素が 1 で，それ以外の要素が 0 である行列を 単位行列 と呼ぶ。
\[ \mathbf{I} = \left ( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right ) \]
対角要素よりも下の要素が 0 である正方行列を 上三角行列 と呼ぶ。 \[ \mathbf{U} = \left ( \begin{array}{ccc} a & b & c\\ 0 & d & e\\ 0 & 0 & f \end{array} \right ) \]
対角要素よりも上の要素が 0 である正方行列を 下三角行列 と呼ぶ。 \[ \mathbf{L} = \left ( \begin{array}{ccc} a & 0 & 0\\ b & c & 0\\ d & e & f \end{array} \right ) \]
対角要素を中心として対応する要素が等しい正方行列を対称行列と呼ぶ。あるいは，転置しても同じ行列といっても良い（$\mathbf{A} = \mathbf{A}'$）。 \[ \mathbf{S} = \left ( \begin{array}{ccc} a & b & d\\ b & c & e\\ d & e & f \end{array} \right ) \]
二つの行列が等しい $\mathbf{A} = \mathbf{B}$ ということは，対応する要素がすべて等しい $a_{ij} = b_{ij}$ ということである。
行列同士の和（差）は，以下のように定義される。結果は行列になる。
\[ \begin{align*} \mathbf{X} \pm \mathbf{Y} &= \left ( \begin{array}{cccc} x_{11} & x_{12} & x_{13} & x_{14}\\ x_{21} & x_{22} & x_{23} & x_{24}\\ x_{31} & x_{32} & x_{33} & x_{34} \end{array} \right ) \pm \left ( \begin{array}{cccc} y_{11} & y_{12} & y_{13} & y_{14}\\ y_{21} & y_{22} & y_{23} & y_{24}\\ y_{31} & y_{32} & y_{33} & y_{34} \end{array} \right )\\[10pt] &= \left ( \begin{array}{cccc} x_{11} \pm y_{11} & x_{12} \pm y_{12} & x_{13} \pm y_{13} & x_{14} \pm y_{14}\\ x_{21} \pm y_{21} & x_{22} \pm y_{22} & x_{23} \pm y_{23} & x_{24} \pm y_{24}\\ x_{31} \pm y_{31} & x_{32} \pm y_{32} & x_{33} \pm y_{33} & x_{34} \pm y_{34} \end{array} \right ) \end{align*} \]
スカラーと行列の積は，以下のように定義される。結果は行列になる。
\[ k \ \mathbf{X} = \mathbf{X} \ k = k \ \left ( \begin{array}{cccc} x_{11} & x_{12} & x_{13} & x_{14}\\ x_{21} & x_{22} & x_{23} & x_{24}\\ x_{31} & x_{32} & x_{33} & x_{34} \end{array} \right ) = \left ( \begin{array}{cccc} k \,x_{11} & k \,x_{12} & k \,x_{13} & k \,x_{14}\\ k \,x_{21} & k \,x_{22} & k \,x_{23} & k \,x_{24}\\ k \,x_{31} & k \,x_{32} & k \,x_{33} & k \,x_{34} \end{array} \right ) \]
$a \times b$ 行列と $b \times c$ 行列をこの順で掛けるときのみ行列の積が定義できる。積は以下のように定義され，結果は $a \times c$ 行列になる。
\[ \begin{align*} \mathbf{X} \ \mathbf{Y} &= \left ( \begin{array}{cccc} x_{11} & x_{12} & x_{13}\\ x_{21} & x_{22} & x_{23}\\ x_{31} & x_{32} & x_{33}\\ x_{41} & x_{42} & x_{43} \end{array} \right ) \times \left ( \begin{array}{cc} y_{11} & y_{12}\\ y_{21} & y_{22}\\ y_{31} & y_{32} \end{array} \right ) \\[5pt] &= \left ( \begin{array}{cc} x_{11} \,y_{11} + x_{12} \,y_{21} + x_{13} \,y_{31} & x_{11} \,y_{12} + x_{12} \,y_{22} + x_{13} \,y_{32} \\ x_{21} \,y_{11} + x_{22} \,y_{21} + x_{23} \,y_{31} & x_{21} \,y_{12} + x_{22} \,y_{22} + x_{23} \,y_{32} \\ x_{31} \,y_{11} + x_{32} \,y_{21} + x_{33} \,y_{31} & x_{31} \,y_{12} + x_{32} \,y_{22} + x_{33} \,y_{32} \\ x_{41} \,y_{11} + x_{42} \,y_{21} + x_{43} \,y_{31} & x_{41} \,y_{12} + x_{42} \,y_{22} + x_{43} \,y_{32} \end{array} \right ) \end{align*} \]
$\mathbf{A}$ が $n \times n$ 対称行列，$\mathbf{X}$ が $n \times 1$ 列ベクトルとしたとき，$\mathbf{X}' \ \mathbf{A} \ \mathbf{X}$ は，二次形式 と呼ばれる。 \[ \mathbf{X}' \ \mathbf{A} \ \mathbf{X} = \left ( \begin{array}{cccc} x_1 & x_2 & \cdots & x_n \end{array} \right ) \ \left ( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\ \end{array} \right ) \ \left ( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \\ \end{array} \right ) \] 例： \[ \mathbf{X}' \ \mathbf{A} \ \mathbf{X} = \left ( \begin{array}{cccc} x_1 & x_2 \end{array} \right ) \ \left ( \begin{array}{cc} 2 & 1\\ 1 & 3\\ \end{array} \right ) \ \left ( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \end{array} \right ) = 2\,x_1^2+2x_1\,x_2+3\,x_2^2 \]
正方行列 $\mathbf{A}$ には 行列式 というスカラーが計算される。行列式を $\left |\mathbf{A} \right |$ と表す。
$2\times2$ 行列の場合 \[ \begin{align*} &\mathbf{A} = \left ( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right )\\[5pt] &\left |\mathbf{A}\right | = \left | \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right | = a\,d - b\,c \end{align*} \]
$3\times3$ 行列の場合 \[ \begin{align*} &\mathbf{A} = \left ( \begin{array}{ccc} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & k \end{array} \right )\\[5pt] &\left |\mathbf{A} \right | = a\,e\,k+b\,f\,g+c\,d\,h-a\,h\,f-d\,b\,k-g\,e\,c \end{align*} \]
大きな行列の行列式は $2 \times 2$ の小行列式を求める問題に帰着できるが計算がやっかいなので，コンピュータプログラムに依るのがよい。Excelにも MDETERM という関数がある。
行列の階数とは，その行列中の線形独立なベクトルの数に等しい。
正方行列の行列式が 0 であるときには特異であるという。行列式が 0 でないときにはその行列は正則であるという。
行列 $\mathbf{A}$ に行列 $\mathbf{B}$ を掛けて結果が単位行列になるとき，$\mathbf{B}$ を，行列 $\mathbf{A}$ の 逆行列 $\mathbf{B} = \mathbf{A}^{-1}$ という。

$1 \times 1$ 行列の場合（これはスカラーである） $\left (\ a\ \right )$ の逆行列は $\left (\ 1/a\ \right )$ である。
$2 \times 2$ 行列の場合は以下のようになる。 \[ \mathbf{A} = \left ( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right )　，　 \mathbf{A}^{-1} = \frac{1}{\left |\mathbf{A} \right |} \ \left ( \begin{array}{cc} d & -c \\ -b & a \end{array} \right ) \]
$3 \times 3$ 行列の場合は以下のようになる。 \[ \mathbf{A} = \left ( \begin{array}{ccc} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & k \end{array} \right )　，　 \mathbf{A}^{-1} = \frac{1}{\left |\mathbf{A} \right |}\ \left ( \begin{array}{ccc} e\,k-f\,h & -b\,k+c\,h & b\,f-c\,e \\ -d\,k+f\,g & a\,k-c\,g & -a\,f+c\,d \\ d\,h-e\,g & -a\,h+b\,g & a\,e-b\,d \end{array} \right ) \]
$4 \times 4$ 行列以上の場合には一般公式によって逆行列を求めるのはやっかいであるため，コンピュータによる。例えば Excelには MINVERSE という関数がある。
なお，対角行列の逆行列は対角成分がもとの対角成分の逆数になるだけである。 \[ \mathbf{T} = \left ( \begin{array}{ccc} t_{11} & 0 & 0\\ 0 & t_{22} & 0\\ 0 & 0 & t_{33} \end{array} \right )　，　 \mathbf{T}^{-1} = \left ( \begin{array}{rrr} 1/t_{11} & 0 & 0\\ 0 & 1/t_{22} & 0\\ 0 & 0 & 1/t_{33} \end{array} \right ) \] 数値例： \[ \mathbf{A} = \left ( \begin{array}{ccc} 2 & 2 & 3\\ 3 & 3 & 2\\ 3 & 1 & 5 \end{array} \right )　，　 \mathbf{A}^{-1} = \left ( \begin{array}{rrr} -1.3 & 0.7 & 0.5\\ 0.9 & -0.1 & -0.5\\ 0.6 & -0.4 & 0.0 \end{array} \right ) \]
行列 $\mathbf{A}$ を実対称行列，列ベクトルを $\mathbf{x}$，$\lambda$ を定数値としたとき，$\mathbf{A} \mathbf{x} = \lambda \mathbf{I} \mathbf{x}$ の関係が成り立つとき，$\lambda$ は 固有値 ，xはその固有値に対応する 固有ベクトル と呼ばれる。これらを求めることは 固有値問題 といわれる。
右辺を移項して整理すると $(\mathbf{A}\ - \lambda\ \mathbf{I}) \ \mathbf{x} = 0$ となり，これは \[ \left ( \begin{array}{ccc} a_{11}-\lambda & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22}-\lambda & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}-\lambda \end{array} \right ) \times \left ( \begin{array}{c} x_{11}\\ x_{21}\\ x_{31} \end{array} \right ) = \begin{array}{c} 0 \end{array} \] の形をした線形連立方程式を解くときに用いられる。
この連立方程式が自明な解以外を持つのは $(\mathbf{A}\ - \lambda\ \mathbf{I})$ が特異な場合，すなわち，$|\mathbf{A}\ - \lambda\ \mathbf{I}| = 0$ のときに限られる。
例： \[ \mathbf{A} = \left ( \begin{array}{cc} 2 & 1\\ 1 & 3 \end{array} \right ) \] のとき， \[ \left |\ \mathbf{A}\ - \lambda\ \mathbf{I}\ \right | = \left | \begin{array}{cc} 2-\lambda & 1\\ 1 & 3-\lambda \end{array} \right | = \lambda^2-5\,\lambda+5 = 0 \] となるので，$\lambda = 3.618034, 1.381966$ を得る。大きい方から順に，第 1 固有値（$\lambda_1$），第 2 固有値（$\lambda_2$），$\ldots$ と呼ぶ。それぞれの固有値に対応して固有ベクトルが得られるが，これはもとの方程式に $\lambda$ の値を代入することにより求める。 \[ (\mathbf{A}\ - \lambda\ \mathbf{I})\,\mathbf{X} = \left ( \begin{array}{cc} 2-\lambda & 1\\ 1 & 3-\lambda \end{array} \right ) \ \left ( \begin{array}{c} x_1\\ x_2 \end{array} \right ) = \left ( \begin{array}{c} 0\\ 0 \end{array} \right ) \] まず $\lambda = 3.618034$ とすることにより，次の連立方程式が得られる。 \[ \left \{ \begin{array}{@{}l} -1.618034\,x_1 + x_2 = 0 \\ x_1 - 0.618034\,x_2 = 0 \end{array} \right . \] を解いて，$x_1 = 0.618034\,x_2$ が得られるが，この関係を満たす $x_1$ と $x_2$ は無数にある。そこで，普通は $\mathbf{x}'\, \mathbf{x} = ||\mathbf{x}|| = 1$ とする（ノルムを 1 にする。このようなベクトルを 正規固有ベクトル という）。 $x_1^2 + x_2^2 = 0.618034^2\,x_2^2 + x_2^2 = 1.381966\,x_2^2 = 1$ より，$x_2 = 0.85065$，さらに，$x_1 = 0.52573$ となる。つまり，$\lambda_1 = 3.618034$ に対応する固有ベクトルは $\mathbf{x}' = (0.52573, 0.85065)$ である。同様にして，$\lambda_2 = 1.381966$ に対応する固有ベクトルは $\mathbf{x}' = (0.85065, -0.52573)$ である。なお，固有ベクトルは互いに直交する。 $\mathbf{x}'\,\mathbf{x} = (0.52573, 0.85065)\,(0.85065, -0.52573)' = 0$ である。

直前のページへ戻る　　

E-mail to Shigenobu AOKI