複数の検定結果を統合する手法(1)　　　Stouffer-method (Rosenthal, 1984)

　対象とする研究は「片側検定」である。

1. 個々の検定結果の $P$ 値($p_{i}$) を $Z$ 値($z_{i}$) に変換する

   \[ p_i \Rightarrow z_i \] 逆の結論を与えた研究の $P$ 値を変換するときには注意（求められた $Z$ 値の符号を逆にする）

2. $Z$ 値の合計を検定の個数($k$)の平方根で割ったもの $Z_{overall}$ は正規分布に従う

   \[ Z_{overall} = \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^k z_i}{\sqrt{k}} \]

3. $Z_{overall}$ から，統合された $P$ 値 $p_{overall}$ を求める

   \[ Z_{overall} \Rightarrow p_{overall} \]

　これを R で書いてみると以下のようになる。

{
p <- c(0.1662, 0.0000023, 0.04559, -0.03981) # テストデータ
z <- ifelse(p > 0, qnorm(abs(p), lower.tail=FALSE), -qnorm(abs(p), lower.tail=FALSE))
z.overall <- sum(z)/sqrt(length(p))
p.overall <- pnorm(z.overall, lower.tail=FALSE)
data.frame(p.i=p, z.i=z)
cat("z(overall) =", z.overall, "\n")
cat("p(overall) =", pnorm(z.overall, lower.tail=FALSE), "\n
}

　テストデータ p は，各研究で得られた $P$ 値（片側検定）。４番目の $-0.0398100$ は，他の研究と逆の結論を与えたもので，スクリプトの都合でそのような場合には $P$ 値に負の符号をつけて用意する（元の $0.0398100$ を $Z$ に 変換してその符号を負にすることなどと同じ意味）。 　得られる結果は，

z(overall) = 2.743926 
p(overall) = 0.00303546

　さらに，「どの程度の有意な差であるか」を検討する必要がある。

参考文献

1. Rosental, R. (1984). Meta-analytic procedures for social research.
   Beverly Hills, CA:Sage.