「統計学関連なんでもあり」の過去ログ--- 048

No.22375　共分散　　【課長】　2017/05/30(Tue) 04:13

互いに独立な確率変数X1,X2,X3がありCOV(X1,（X1+X2+X3)/3）＝1/3*COV(X1，X1)とテキストにありますが，これを証明できません

なんでこうなるのかわからず，こんな未熟な質問をしてすみません

No.22376　Re: 共分散　　【青木繁伸】　2017/05/31(Wed) 08:57

LaTeX で書くといいとは思うのですが，プログラミング言語の数式も厳密なものにちがいないので，R で書いてみます。sum をΣ，mean を $\bar{x}$ に置き換えて普通の数式にしてみてください。

Cov の定義は，a, b の二変数について，
Cov = function(a, b) {
	n = length(a)
	(1/n)*sum((a-mean(a))*(b-mean(b)))
}
1/n を 1/(n-1) にすれば R の Cov と同じ
Cov = function(a, b){
	n = length(a)
	cov(a, b)*(n-1)/n
}

w = (x+y+z)/3 とすれば
Cov(x, w) = (1/n)*sum((x-mean(x))*(w-mean(w)))
= (1/n)*sum(x*w) - (1/n)*sum(x*mean(w)) + (1/n)*sum(mean(x)*w) + (1/n)*sum(mean(x)*mean(w))
= (1/n)*sum(x*w) - mean(x)*mean(w) + mean(x)*mean(w) + mean(x)*mean(w)
= (1/n)*sum(x*w) + mean(x)*mean(w)
= (1/n)*sum(x*((x+y+z)/3)) + mean(x)*mean((x+y+z)/3)
= (1/n)*sum(x*(x/3)) + (1/n)*sum(x*(y/3)) + (1/n)*sum(x*(z/3)) + mean(x)*mean(x/3) + mean(x)*mean(y/3) + mean(x)*mean(z/3)
= (1/n)*sum((x-mean(x))*((x/3)-mean(x/3))) +  (1/n)*sum((x-mean(x))*((y/3)-mean(y/3))) +  (1/n)*sum((x-mean(x))*((z/3)-mean(z/3)))
= Cov(x, x/3) + Cov(x, y/3) + Cov(x, z/3)
= Cov(x, x/3) + Cov(x, y)/3 + Cov(x, z)/3 
= Cov(x, x/3) + 0/3 + 0/3　　　∵ x, y, z は独立

No.22377　Re: 共分散　　【課長】　2017/05/31(Wed) 18:43

本当にご丁寧な解説本当にありがとうございます。プログラムから式を書き出して理解できました。すっきりしました。本当にありがとうございます。もう少し統計の基礎をやり直してゆきます。