「統計学関連なんでもあり」の過去ログ--- 048

No.22253　正規分布以外のデータの母分散の区間推定法は?　　【こびぃ】　2017/01/19(Thu) 18:16

母平均を区間推定する場合，生データが正規分布に従わなくとも，中心極限定理のおかげで，
ある程度のサンプルサイズ（n=10個〜20個以上）があれば母平均の区間推定ができるといわれます。

実際，正規分布以外の乱数を使ったシミュレーションにより，そのことを確認しました。

一方，母分散を区間推定したい場合は，
生データが正規分布に従うことがわかっている場合，カイ2乗分布を利用します。

しかし，生データがどのような分布に従うかわからない（少なくとも正規分布ではなさそうな）場合に，
生データの母分散を区間推定する方法というのは世の中にあるのでしょうか?

正規分布よりも両裾の厚い分布（ジョンソンSU分布）を想定して母分散の推定をシミュレーションしてみたところ，
nを増やせば増やすほど的中率が低下する（信頼区間内に母分散を含まないケースが増える）という結果になりました。

これは，カイ2乗分布に従わないことに由来するのでしょう。

自分なりに調べてみたのですが，
正規分布を想定しないケースについての母分散の区間推定のやりかたが見つけられませんでしたので，
こちらの掲示板に質問させていただく次第です。

以上，ご教示いただきますようお願いいたします。

No.22254　Re: 正規分布以外のデータの母分散の区間推定法は?　　【鈴木康弘】　2017/01/23(Mon) 08:01

　カイ2乗分布が正規分布に従う標本の2乗和の分布であるように，そのジョンソンSU分布というものの2乗和の分布に従うのでは，と思うのですが．．全然自信ありません。

No.22255　Re: 正規分布以外のデータの母分散の区間推定法は?　　【青木繁伸】　2017/01/23(Mon) 11:13

Efron , Stein : The Jackknife Estimate of Variance - Project Euclid
https://projecteuclid.org/euclid.aos/1176345462

Bradley Efron (1979). “Bootstrap Methods: Another Look at the Jackknife”. The Annals of Statistics 7 (1): 1–26.

Efron, B. (1981). Nonparametric estimates of standard error: The jackknife, the bootstrap and other methods. Biometrika, 68, 589-599.

Efron, B. (1982). The jackknife, the bootstrap, and other resampling plans. Society of Industrial and Applied Mathematics CBMS-NSF Monographs, 38.

簡単な関数を書いてみた
f = function(x, sig=0.05, trial=1000) {
	z = double(trial)
	for (i in seq_len(trial)) {
		z[i] = var(sample(x, replace=TRUE))
	}
	quantile(z, c(sig/2, 1-sig/2))
}
これを使って，一様乱数の分散（1/12）を求めてみる
trial = 1000
result = double(trial)
for (i in seq_len(trial)) {
	x = runif(50)
	lr = f(x, trial=200)
	result[i] = lr[1] <= 1/12 && 1/12 <= lr[2]
}
mean(result)
0.91〜0.94 と若干狭いようだけど。

最近では，ベイズ推定でもできるのかも知れない（私は知らない）

No.22257　Re: 正規分布以外のデータの母分散の区間推定法は?　　【こびぃ】　2017/01/23(Mon) 19:55

鈴木様ご返信ありがとうございます。

ご指摘のとおり，（正規分布でなくとも）分布が具体的にわかっていれば，その分布の2乗和の分布を調べれば解決します。

しかし，現実には分布が具体的にはわからないことが多いので，その場合どうすればよいかと思った次第です。

青木先生ご返信ありがとうございます。

具体的な文献やプログラムのご提示ありがとうございます。

実は，私もBootstrap というキーワードにこの2〜3日でようやくたどり着いたところでした。

ご紹介いただいたものを含め，Bootstrap法とかJackknife法というものを調べてみようと思います。

鈴木様，青木先生，今後ともよろしくお願いいたします。