No.21227 同じ誕生日の人がいる人の人数  【scdent】 2014/07/28(Mon) 10:21

「何人集まればその中に同じ誕生日の人がいる確率が50%を超えるか?」は下記に式があり,23人ということがわかります。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%AA%95%E7%94%9F%E6%97%A5%E3%81%AE%E3%83%91%E3%83%A9%E3%83%89%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9

そこで,どなたかに教えていただきたいのです。

n人の中で,同じ誕生日の人がいる人の数の期待値は,どのような計算式で得られるでしょうか。
例えば100人の中で,同じ誕生日の人はAさんとBさんだけの場合は2人で,AさんとBさんが同じでCさんとDさんも同じで他は皆違う場合は4人と数えます。

どうか,よろしくお願いします。

No.21234 Re: 同じ誕生日の人がいる人の人数  【scdent】 2014/07/31(Thu) 15:20

この問題を解くには,2人のみが同日の場合,3人のみが同日の場合,・・・・・,n人全てが同日の場合というように場合分けが必要で,さらにその中でも例えば4人の場合,2人2人と4人というようにさらに場合分けしなくてはならず,とても難解であることがわかってきました。
お忙しい中ご迷惑をお掛けしました。お詫びします。

No.21263 Re: 同じ誕生日の人がいる人の人数  【scdent】 2014/08/19(Tue) 11:42

N人中,同じ誕生日の人がいる人の人数の期待値を,意外と簡単に?算出できました。
ご希望の方がいらっしゃいましたらUpしますので,ご検討ください。

No.21267 Re: 同じ誕生日の人がいる人の人数  【青木繁伸】 2014/08/20(Wed) 16:50

どうぞ,投稿してください。

No.21271 Re: 同じ誕生日の人がいる人の人数  【scdent】 2014/08/21(Thu) 09:48

ありがとうございます。

まず,N人中のある人が残りの人と誕生日が異なる確率は,
(364/365)^(N-1)
となります。他の人と誕生日が異なる人の数の期待値はこれにN人を乗じて,
(364/365)^(N-1)xN
となります。

従ってN人中で,他の人と誕生日が同じ人がいる人の数の期待値は,
N-(364/365)^(N-1)xN
となります。

やや疑いながらでしたが,シミュレーションで確認できたので正しいと思います。

参考に,性別も考慮に入れた場合は次のようになりました。
N-((2x365-1)/(2x365))^(N-1)xN

一度はあきらめていたのですが,頭の片隅でくすぶらせておいてよかったと思います。

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