「統計学関連なんでもあり」の過去ログ--- 045

No.16641　カイ二乗検定は2種類あるの？　　【ノンちゃん】　2012/03/15(Thu) 10:18

カイ二乗検定を勉強中です．教科書や参考書によって式が微妙に相違するのですが，2種類あるのかどうか知りたいです．2種類ある場合は，その使い分け方が分かると助かります．

＜記号の定義＞
N：標本サイズ
S^2：標本分散
sig^2:母分散
x^2：x二乗検定統計量

＜種類1＞
x^2=(N*S^2)/sig^2

＜種類2＞
x^2=((N-1)*S^2)/sig^2

＜相違点＞
上記式の右辺の分子に，Nを積算するか，(N-1)を積算するかが相違する．この相違は，標本分散の推定の段階で，不偏推定を採用するかどうかに応じていると思っていますが，この理解で正しいかどうかも教えていただけると助かります．Nが大きい値の場合，両式での計算結果の相違は無視できると思いますが，N が一桁台だと無視できない相違が発生するので，カイ二乗検定の式の定義に遡って確認したいです．

No.16642　Re: カイ二乗検定は2種類あるの？　　【青木繁伸】　2012/03/15(Thu) 10:44

この検定を「カイ二乗検定」と呼ぶのは止めた方がよいでしょう。

それはさておき，「標本分散の推定の段階で，不偏推定を採用するかどうかに応じていると思っていますが」というのですから，それぞれの式が載っている教科書で，式に出てくる S^2 がどちらを表しているかを確認すれば済むことでしょう。

例えば，私の Web ページだと，

母平均が未知の場合
母分散が $\sigma^2_0$ の正規母集団から抽出された $n$ ケースの不偏分散を $U$ とすると，次式の $\chi^2_0$ は，自由度が $n - 1$ の $\chi^2$ 分布に従う。
\[ \chi_0^2 = \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X})^2}{\sigma_0^2} = \frac{(n-1)U}{\sigma_0^2} \]
と書いてあります。つまり，「変動を母分散で割ったらそれは $\chi^2$ 分布に従う確率変数になる」ということです。あるものから「変動」を求めるのにどうすればよいかは簡単なことです。

No.16643　Re: カイ二乗検定は2種類あるの？　　【ノンちゃん】　2012/03/15(Thu) 15:51

お忙しい中，ご教示頂きありがとうございました。

「母分散の検定」ページで，使い分け方法を理解することができました。

「母平均が既知の場合」について，一般論で結構ですので，どのような条件がそろえば「既知」と見なせるのか，例えば標本サイズに目安はあるのかなど，追加でご教示頂けると幸いです。

No.16644　Re: カイ二乗検定は2種類あるの？　　【青木繁伸】　2012/03/15(Thu) 17:47

> どのような条件がそろえば「既知」と見なせるのか，例えば標本サイズに目安はあるのかなど

既知とは「分かっている」ことですよ。

目安などとは無関係のもの。
サンプルサイズとも無関係。

もっとも，「分かっている」ことの確信度にはレベルがあるでしょう。確実な場合から，たぶんこれくらいじゃないかなあまで。

No.16647　Re: カイ二乗検定は2種類あるの？　　【ノンちゃん】　2012/03/16(Fri) 08:08

追加のご回答ありがとうございました。

例えば，評価対象が熱雑音（ホワイトノイズ）なら，ガウス分布で母平均＝0（になるはず）という理解で宜しいでしょうか。

お手間を取らせ申し訳ありません。

No.16648　Re: カイ二乗検定は2種類あるの？　　【青木繁伸】　2012/03/16(Fri) 09:17

そういうことでしょう

No.16649　Re: カイ二乗検定は2種類あるの？　　【ノンちゃん】　2012/03/16(Fri) 10:44

ご確認どうもありがとうございました。