「統計学関連なんでもあり」の過去ログ--- 044

No.14895　標本平均の分散　　【bushido-】　2011/06/30(Thu) 10:17

標本平均の分散が母分散/nになるのは何故ですか。
n個の標本と真の平均からの偏差平方和が，平均されて偏差平方和/nにまとめられるから，と説明されたのですが，式にすると判りません。

例えば標本n=2で式を書くと（2つの値をX1,X2，標本平均をX，真の平均μをとします）

標本平均の分散
=1/2 * (X-μ)^2
=1/2 * {(X1+X2)/2-μ}^2
=1/2 * { 1/2(X1+X2-2μ) }^2
=1/2 * 1/4 * (X1+X2-2μ)^2
=1/2 * 1/4 * {(X1-μ)+(X2-μ)}^2
=1/2 * 1/4 * {(X1-μ)^2 + 2(X1-μ)(X2-μ) + (X2-μ)^2}

　ここで2(X1-μ)(X2-μ)は独立した標本同士の共分散とみなせるので，0　よって

=1/2 * 1/4 * {(X1-μ)^2 + (X2-μ)^2}

　標本がnならば

=1/n^2 * 1/n{(X1-μ)^2 + (X2-μ)^2+…+(Xn-μ)^2}

このあたりまでは考えを巡らせたのですが，最終的に

= σ^2 / n

へ辿り着くことができません。

Xの分散がσ^2の1/nになるということは，Xとμの偏差平方(X-μ)^2が，標本と真の平均の偏差平方和{(X1-μ)^2 + (X2-μ)^2+…+(Xn-μ)^2}の1/n^2になるということですよね（試行回数で平均してみれば）。

近いところまで来ている気はするのですが，もうあと1歩2歩進むためにご指南頂けませんか。

No.14898　Re: 標本平均の分散　　【青木繁伸】　2011/06/30(Thu) 12:00

「標本平均の分散」でググっただけで，もろの回答もいろんな処にある
http://next1.cc.it-hiroshima.ac.jp/MULTIMEDIA/statistics/node9.html
なんかを

No.14899　Re: 標本平均の分散　　【統計の子猫】　2011/06/30(Thu) 12:38

bushidoさんは，期待値を使わないで，値だけを使って，その式を証明したいということでしょうか？