「統計学関連なんでもあり」の過去ログ--- 044

No.14103　平均値が正規分布する正規分布　　【西野】　2011/01/04(Tue) 17:01

mu ～ N(m0, s0)
X ～ N(mu, S1)

のように，平均値が正規分布するような入れ子になった確率変数Xの分布を
求めるにはどのようにすればよいでしょうか。

No.14104　Re: 平均値が正規分布する正規分布　　【青木繁伸】　2011/01/04(Tue) 21:43

シミュレーションしてみれば，X の平均値は mu0，分散は s0^2+s1^2 の正規分布になるのかな？

> sim <- function(mu0, s0, s1, n=1000000)
+ {
+ 	x <- numeric(n)
+ 	for (i in 1:n) {
+ 		x[i] <- rnorm(1, mean=rnorm(1, mean=mu0, sd=s0), sd=s1)
+ 	}
+ 	cat("mean(x) = ", mean(x), "\n")
+ 	cat("mean1 = ", mu0, "\n")
+ 	cat("sd(x) = ", sd <- sd(x), "\n")
+ 	cat("skew(x) = ", skew(x), "\n")
+ 	cat("kurt(x) = ", kurt(x), "\n")
+ 	cat("sd^2 =", sd^2, "\n")
+ 	cat("s0^2+s1^2 =", s0^2+s1^2, "\n")
+ }
> set.seed(1234567)
> sim(4.32, 1, 2)
mean(x) =  4.321087 
mean1 =  4.32 
sd(x) =  2.237204 
skew(x) =  0.002676155 
kurt(x) =  -0.001985979 
sd^2 = 5.005082 
s0^2+s1^2 = 5 
> sim(1.321, 3.243, 5,257)
mean(x) =  1.054299 
mean1 =  1.321 
sd(x) =  5.880414 
skew(x) =  -0.2805772 
kurt(x) =  -0.1650891 
sd^2 = 34.57927 
s0^2+s1^2 = 35.51705 
> sim(2.345, 1.234, 5.678)
mean(x) =  2.346792 
mean1 =  2.345 
sd(x) =  5.817497 
skew(x) =  -0.001449112 
kurt(x) =  0.003968626 
sd^2 = 33.84327 
s0^2+s1^2 = 33.76244

No.14105　Re: 平均値が正規分布する正規分布　　【西野】　2011/01/04(Tue) 22:02

ありがとうございます。私もエクセルでですがやってみて似たような感じとなりました。
ただ，数式として求められないものかな，と思います。

No.14110　Re: 平均値が正規分布する正規分布　　【のね】　2011/01/05(Wed) 22:09

これは，(x, mu) の2次元密度関数が，2つのガウス関数の積

　　ρ(x,mu) = exp(-(x-mu)^2/2/s1^2)*exp(-(mu-m0)^2/2/s0^2)

で表される(係数は略してます)ことから，ρ(x,mu) を mu について -無限大から +無限大まで積分すれば出てきます。

積分はちょっとだけ面倒ですが。

No.14112　Re: 平均値が正規分布する正規分布　　【西野】　2011/01/06(Thu) 01:08

ありがとうございました。頑張ってやってみます。