「統計学関連なんでもあり」の過去ログ--- 044

No.13643　SD=0 のt検定について　　【higu】　2010/10/20(Wed) 18:03

初めまして。統計学の初心者ですがよろしくお願いします。

先日のある実験で以下のような結果が出ました。
group1:non-treatment 平均値 0 SD 0 n = 4
group2:treatment 平均値10.3 SD 3.5 n = 4
※group1は全てのサンプルが検出限界以下でした。

group1のSDが0だったためにt検定はできないと判断しておりました。

そしてこのデータを入れた論文を投稿したところ
For comparison of a mean value for a treatment group vs a constant,
a student t-test can be performed where Ho is that treatment mean = 0.
とreviewerのかたから返事が来ました。

そこで質問なのですが，SD=0の場合でも
帰無仮説で平均値=0と仮定すればt検定は可能なのでしょうか？
また，仮に検定できる場合はSDなどをどうすればよいのでしょうか？
何卒お知恵を拝借できれば幸いです。

No.13644　Re: SD=0 のt検定について　　【青木繁伸】　2010/10/20(Wed) 20:02

あなたが自分のデータを見て分かっていることと思いますけど，non-treatment group はすべてのデータが0だったのですね。
査読者は，そのようなデータの場合には，母平均が0である（つまり，non-treatment group の標本平均を母平均の推定値として扱い，treatment group の平均値が母平均と差があるかどうかの一標本検定をしたらどうかと言っているようですね。
理論的に，non-treatment group の母平均が 0 であるなら，そのようにするのも一方でしょう。
母平均は必ずしも 0 ではなくて，標本平均が 0 であったのもたまたまのことであると解釈するなら，独立二標本の検定をするのも，何ら差し支えはないでしょう。一方の群の標準偏差が 0（すなわち，すべてが同じ値）である場合でも（母平均，標本平均が 0 であるかどうかは無関係），独立二標本の平均値の差の検定は行えますよ。

No.13645　Re: SD=0 のt検定について　　【higu】　2010/10/20(Wed) 20:36

青木先生，非常に早く，また分かりやすい解説をありがとうございました。
SD=0ならば，もう検定はできないと誤解しておりました。
本当にありがとうございました。

No.13646　Re: SD=0 のt検定について　　【青木繁伸】　2010/10/20(Wed) 21:26

シミュレーションしてみましょ。

まずは，等分散を仮定する独立二標本の平均値の差の検定。ただし，一方のデータは分散（標準偏差が 0。必ずしも平均値が 0 である必要はない）。
処理群のデータは同じでも，対照群（0 ばかりのデータ）が多くなれば，それにつれて P 値もドンドン小さくなる。
> t.test(c(2,3,2,4,5,6,7,4), c(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0), var.equal=TRUE)

	Two Sample t-test

data:  c(2, 3, 2, 4, 5, 6, 7, 4) and c(0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) 
t = 7.653, df = 17, p-value = 6.64e-07
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0 
95 percent confidence interval:
 2.987802 5.262198 
sample estimates:
mean of x mean of y 
    4.125     0.000 
続いて，同じデータを等分散を仮定しない（ウエルチの方法による）独立二標本の平均値の差の検定。これは，対照群が本当に全部同じ値なら，最後に示す一変量の母平均の検定と同じ結果になる。
> t.test(c(2,3,2,4,5,6,7,4), c(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0))

	Welch Two Sample t-test

data:  c(2, 3, 2, 4, 5, 6, 7, 4) and c(0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) 
t = 6.4541, df = 7, p-value = 0.0003489 ★ この値を，この後の検定の P 値と比較
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0 
95 percent confidence interval:
 2.613707 5.636293 
sample estimates:
mean of x mean of y 
    4.125     0.000 
最後に，一変量母平均の検定（母平均が 0 の場合 mu=0）のとき。
> t.test(c(2,3,2,4,5,6,7,4), mu=0)

	One Sample t-test

data:  c(2, 3, 2, 4, 5, 6, 7, 4) 
t = 6.4541, df = 7, p-value = 0.0003489 ★ 比較すべきはこの値
alternative hypothesis: true mean is not equal to 0 
95 percent confidence interval:
 2.613707 5.636293 
sample estimates:
mean of x 
    4.125 
対照群のデータが殆ど同じという場合は，処理群との母分散は異なるとするのが妥当で，var.equal=FALSE ウエルチの方法を採るのが妥当。そのほかにも，いろいろ理由付けはできる。