「統計学関連なんでもあり」の過去ログ--- 043

No.13411　ベクトル平均の標準偏差　　【はな】　2010/09/15(Wed) 04:16

長さと角度で表すことの出来るデータを極座標上にプロットしました。全て（データ数54）のベクトルの加算平均を求めて長さと角度の平均値を求めたのですが，それぞれの標準偏差を求める方法がわかりません。どのように求めれば良いのでしょうか？

No.13416　Re: ベクトル平均の標準偏差　　【青木繁伸】　2010/09/15(Wed) 10:52

角度の平均，角度の分散について
http://staff.aist.go.jp/toru-nakata/averageangle.html
の，「単位ベクトル合算法」の最後の1文に，分散・標準偏差の求め方が書いてありますね。「角度値単純合算法」も書いてあります。

No.13417　Re: ベクトル平均の標準偏差　　【はな】　2010/09/15(Wed) 11:01

返信ありがとうございます。聞き方が曖昧で，申し訳ありませんでした。

各データが「長さ」と「角度」という二つの要素を持っています。知りたいのはそれぞれの平均値です。個別にスカラー平均を取れば標準偏差は求められるのですが，各値の大きさと向き両方に意味があるので，まず平均ベクトルを求めて，その長さと角度をそれぞれの平均値としました。

つまり，長さ／角度が

データ1：2／90度
データ2：1／270度

なら，平均は1．5／180度ではなく　1／90度　になります。

このような場合に，長さと角度の標準偏差はどうやって求めるのか，ということです。平均ベクトルは各データのx値，y値の平均から求められますが，x値，y 値の標準偏差をベクトルの長さと角度に変換できるのでしょうか。それともベクトル計算の場合，特別な求め方があるのでしょうか。

No.13418　Re: ベクトル平均の標準偏差　　【はな】　2010/09/15(Wed) 11:12

あ，ちょうど行き違いでした。

参考サイトのリンク，ありがとうございます。まさにここに書いてある「生データベクトル合算法」を行ないたいのですが，標準偏差の求め方はないですね・・・

「一定方向にデータが分布するか」については，ここにあるとおり Rayleigh test を用いて検定できます（つまり角度だけに着目する）。でも，単位ベクトルにしてしまうと，長さの情報が失われてしまいます。

No.13422　Re: ベクトル平均の標準偏差　　【ひの】　2010/09/15(Wed) 11:46

＞各データが「長さ」と「角度」という二つの要素を持っています。知りたいのはそれぞれの平均値です。
＞個別にスカラー平均を取れば標準偏差は求められるのですが，各値の大きさと向き両方に意味があるので，まず平均ベクトルを求めて，その長さと角度をそれぞれの平均値としました。

　それは「平均ベクトルの長さと角度」を求めているのであって，「長さと角度の平均」を求めているのではありませんね。
　分散を求めるなら，ベクトルの分散を求めて，その値を角度と長さに変換すればよいでしょう。「ベクトルの分散」で検索すると，

http://hooktail.org/computer/index.php?KL%C5%B8%B3%AB

ここに式が載っています。

No.13433　Re: ベクトル平均の標準偏差　　【はな】　2010/09/15(Wed) 13:25

御回答，ありがとうございます。

＞それは「平均ベクトルの長さと角度」を求めているのであって，「長さと角度の平均」を求めているのではありませんね。

あ，なるほど。そうですね。

参考サイトのリンク，やりたいことはこれっぽいです。分散が大きくなるように次元を落とすということは，主成分分析の考え方を利用するのでしょうか。理解してからお返事しようと思ったのですが，かなり難しそうなので，とりあえず御礼申し上げます。理解できたら（あるいはできなかったら）またお知らせします。