「統計学関連なんでもあり」の過去ログ--- 042

No.09922　相関係数の尺度　　【ethan】　2009/05/24(Sun) 06:20

相関係数は順序尺度であり比例尺度ではない（http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%9B%B8%E9%96%A2%E4%BF%82%E6%95%B0）ということですが，
相関係数は幾何的には2つのベクトルのなす角度の余弦と解釈できる（http://www39.atwiki.jp/stat_semi/pages/39.html）ので，相関係数のarccosを取れば，（2つの変量の非類似度として）この値は比例尺度として解釈できないでしょうか。

No.09923　Re: 相関係数の尺度　　【青木繁伸】　2009/05/24(Sun) 11:16

「相関係数は順序尺度であり間隔尺度ではないので，例えば「相関係数が0.2と0.4であることから，後者は前者より2倍の相関がある」などと言うことはできない。」

この，前半部はちょっと違和感がありますね。相関係数を順序尺度だの間隔尺度だのは言わないでしょう。英語版の Wikipedia には，該当する記述はないと思うのだけど。

日本語版 Wikipedia の記述は，「r=0.4 は r=0.2 の倍ではない」といっているだけで，それをとらえて順序尺度だというのは意味がない。

なお，acos(r) も等間隔ではないので（何と比べてかという話になるけど），同じこと（asin(1) は 0 だから，比例尺度とはいえないし）。

No.09924　Re: 相関係数の尺度　　【にゃんちゅう】　2009/05/24(Sun) 11:49

>間隔尺度ではないので，例えば「相関係数が0.2と0.4であることから，後者は前者より2倍の相関がある」などと言うことはできない。

例えば以下の部分は間隔尺度の説明ではなく，比例尺度の説明ですね。よい子が誤解しないように注意を喚起しておきます。

No.09960　Re: 相関係数の尺度　　【ethan】　2009/05/28(Thu) 19:07

青木様，にゃんちゅう様

ご返事ありがとうございました。
返信が遅くなり申し訳ありません。

青木様
> なお，acos(r) も等間隔ではないので（何と比べてかという話になるけど），
> 同じこと（asin(1) は 0 だから，比例尺度とはいえないし）。
ということですが，私が言いたかったのは，
　「θ＝acos(r)と変換すれば，θは比例尺度と解釈できないか」
ということです。
　　相関係数を幾何的に解釈するならば，
　　2つの変量の観測値を中心化した2つの
　　ベクトルのなす角の余弦が相関係数
　→つまり，相関の高い-低いとは
　　2つのベクトルがどれだけ同じ方向を
　　向いているのか，ということ
　→ならば，わざわざ余弦なんか取らなくても
　　角度で相関の高い低いが分かるじゃないか
というのが私の考えです。
「60°は30°の2倍」ということが言えると私は考えていますので，比例尺度と解釈できるのではないかと思ったのです。
いかがでしょうか。

にゃんちゅう様
> >間隔尺度ではないので，例えば「相関係数が0.2と0.4であることから，
> 後者は前者より2倍の相関がある」などと言うことはできない。
>
> 例えば以下の部分は間隔尺度の説明ではなく，比例尺度の説明ですね。
> よい子が誤解しないように注意を喚起しておきます。
そうですね。私もその部分は正確さに欠ける記述であると思っていました。

No.09961　Re: 相関係数の尺度　　【青木繁伸】　2009/05/28(Thu) 21:11

> 「60°は30°の2倍」ということが言えると私は考えていますので，比例尺度と解釈できるのではないかと思ったのです。

円周方向で考えればそういうことでしょう。

そもそも，相関係数を順序尺度だの間隔尺度だの比尺度だのと言うこと自体がおかしいと言っているだけのことです。

揚げ足を取っているだけのことで，「0があるデータは比尺度ではあり得ない」というだけのことです。

それでもなお，比尺度だと言っても，反対はしませんが，そう言うことで何のメリットが生じるのかよくわかりませんというだけのことです。

0度が相関1で，90度が相関0，180度が相関-1。では45度は相関0.5なんですか？そんなわけないですよね。

要するに，何と何が線形関係になっているかを言ってるだけの話ではないですか。例えば，単相関係数の二乗は決定係数で，その意味は，一方の変数がもう一方をどれくらい説明しているかと言うことです。一方の変数がもう一方を10％説明しているのと20％説明しているのは，倍の説明力があるということですね。決定係数が 0.1 と 0.2 ということです。それに対する相関係数は √0.1 と √0.2 ということで，0.3162278 と 0.4472136 ですね。相関係数と決定係数は線形関係にはありません。そういうこと。