「統計学関連なんでもあり」の過去ログ--- 042

No.09407　一様性の証明方法について　　【ぱぱじ】　2009/03/03(Tue) 17:32

下記について教えてください。
製品が 10 個有り，その強度が 64.0, 62.0, 67.5, 64.5, 61.5, 63.0, 66.0, 62.0, 62.5, 60.0 のとき，この 10 個の製品が一様の強度であることを証明する方法（または，一様でないと証明する方法）を教えてください。
宜しくお願いします。

No.09409　Re: 一様性の証明方法について　　【青木繁伸】　2009/03/03(Tue) 17:51

「一様の強度である」ということで，「一様」とはどういう定義ですか？一様分布に従っているかどうかということですか？10個のデータで一様分布への適合度検定をしても，帰無仮説は採択される傾向になる（一様でないとはいえないという結論になる）かもしれませんが，それでもよいと言うことでしょうか？一応，一標本コルモゴロフ・スミルノフ検定を提案しておきましょう。なお，この検定で帰無仮説が採択されても，「一様である」という結果にはならず，「一様でないとはいえない」という結果になるところに注意が必要です。
例えば，標準正規乱数を10個発生させて，母分布が一様分布かどうかの検定を行うと，ほぼ25%の確率で帰無仮説は棄却できないという結果になります。以下は，R でのシミュレーション例。
> trial <- 100000; sum(replicate(trial, ks.test(rnorm(10), "punif")$p.value)<0.05)/trial
[1] 0.75658
ちなみに，挙げられた例題データでは，
> ks.test(c(64.0, 62.0, 67.5, 64.5, 61.5, 63.0, 66.0, 62.0, 62.5, 60.0), "punif")

	One-sample Kolmogorov-Smirnov test

data:  c(64, 62, 67.5, 64.5, 61.5, 63, 66, 62, 62.5, 60) 
D = 1, p-value = 4.122e-09
alternative hypothesis: two-sided 

Warning message:
In ks.test(c(64, 62, 67.5, 64.5, 61.5, 63, 66, 62, 62.5, 60), "punif") :
   タイがあるため，正しい p 値を計算することができません 
のようになり，「一様ではない」という結果になりますね。

No.09418　Re: 一様性の証明方法について　　【ぱぱじ】　2009/03/04(Wed) 08:52

まったくの統計学の素人の質問にお答えいただきありがとうございます。

No.09437　Re: 一様性の証明方法について　　【のぶ】　2009/03/04(Wed) 22:48

　横から失礼します。

　一様分布では分布の上限，下限を指定する必要があります。
　今回ののデータで範囲を60～68とすると，以下のように一様分布を否定できなくなります。
> x=c(64.0, 62.0, 67.5, 64.5, 61.5, 63.0, 66.0, 62.0, 62.5, 60.0)
> ks.test(x,"punif",60,68)

        One-sample Kolmogorov-Smirnov test

data:  x 
D = 0.2375, p-value = 0.6254
alternative hypothesis: two-sided 

Warning message:
In ks.test(x, "punif", 60, 68) : cannot compute correct p-values with ties

No.09438　Re: 一様性の証明方法について　　【青木繁伸】　2009/03/04(Wed) 23:54

> 一様分布では分布の上限，下限を指定する必要があります。

そうでした，うっかりというか，one sample の ks.test をやったことがないので，間違えました。オンラインヘルプをよく読まないといけませんでしたね。
...	 parameters of the distribution specified (as a character string) by y.
反省します。