「統計学関連なんでもあり」の過去ログ--- 042

No.09004　試行回数が異なる場合　　【ねこ】　2009/01/23(Fri) 17:25

統計学に詳しくありません。googleで検索したり過去ログも少し探したのですが分からなかったので質問させていただきます。既出だったらすいません。

A・B・Cの3人があるゲームをしました。それぞれの試行回数と成功回数は次のとおりです。

     試行回数   成功回数   成功率
A           5          5     1.00
B          10          2     0.20
C          15          8     0.53
計         30         15     0.50

この場合のゲーム全体の成功率とプレイヤー毎の成功率の散らばり(標準偏差？)を「0.50±ooo」という具合に表したいのですが，どのようにして値を求めればよいのでしょうか？

No.09005　Re: 試行回数が異なる場合　　【青木繁伸】　2009/01/23(Fri) 17:37

二つ下の No. 8981 と同じですよ。

全体の成功率は　 (5+2+8)/(5+10+15) = 15/30 = 0.50 とするか，((5/5)+(2/10)+(8/15)) / 3 = 0.5777778 とするか，どちらがよいかということでしょう？まあ，各人のゲーム回数に余り大きな違いがないなら，二つの結果の違いも余り大きくはないでしょうが，普通は，前者でしょう。

> プレイヤー毎の成功率の散らばり(標準偏差？)を「0.50±ooo」という具合に表したいのですが

例えば，B の成功率は 0.20 一つだけですから，散らばりなんかはないですね。
B の成功率の母数があって，1 セットの実験結果の成功率が 0.20 であったとして，母比率の推定値は 0.20 というのが最尤推定値，母比率の分散の推定値は 0.2*(1-0.2)/10 = 0.016 ですけどね。（二項分布の平均値と分散の定義を参照のこと）

No.09007　Re: 試行回数が異なる場合　　【ねこ】　2009/01/23(Fri) 18:02

迅速なる返信，ありがとうございます。

>どちらがよいかということでしょう？
全体の成功率は　(5+2+8)/(5+10+13) = 15/30 = 0.50　を使います。

>例えば，B の成功率は 0.20 一つだけですから，散らばりなんかはないですね。

当方の文章力に難が有って上手く伝わらなかったようです。
各プレイヤーの成功率(1.00, 0.20, 0.53)が全体の成功率0.50からどれくらいの誤差範囲に収まっているか，という指標を出したいのです。

No.09010　Re: 試行回数が異なる場合　　【青木繁伸】　2009/01/23(Fri) 19:04

1, 0.2, 0.53 の分散を計算する？

No.09011　Re: 試行回数が異なる場合　　【ねこ】　2009/01/23(Fri) 19:26

なかなか上手く説明出来ません・・・
別のゲームを行った際の結果を同様に

試行回数成功回数成功率
D 7 3 0.43
E 12 6 0.50
F 21 11 0.52
計 40 20 0.50

とした場合，先述のゲーム1と今回のゲーム2の全体の成功率は同じく0.50ですが，ゲーム1はプレイヤーによって成功率が大きく異なるのに対しゲーム2ではあまりばらついていません。
この違いを数値で説明したい，という具合なのですが・・・

No.09012　追記　　【ねこ】　2009/01/23(Fri) 19:41

σ^2 = {(1-0.5)^2+(0.2-0.5)^2+(0.53-0.5)^2}/3

からσ≒0.34とし，ゲーム1は 0.50±0.34，同様にしてゲーム2は 0.50±0.04 として良いのでしょうか？

No.09013　Re: 試行回数が異なる場合　　【青木繁伸】　2009/01/23(Fri) 20:53

まあ，通常の標準偏差の計算とは違う訳ですが，しようがないのではないでしょうかね。
しかし，たとえ話とはいえ，3個のデータのバラツキというのも，厳しいところがありますね。