「統計学関連なんでもあり」の過去ログ--- 042

No.07621　2つのランダム点間の距離の分布　　【orz】　2008/09/12(Fri) 18:51

平面上に2つのランダム点（例えば下記PとQのような）があります。
P(x1,y1), x1~N(u1,a), y1~N(v1,a)
Q(x2,y2), x2~N(u2,b), y2~N(v2,b)
これら2点間のユークリッド距離dの確率分布は，いったい何分布になると考えるべきでしょうか？距離dの値は常に正ですので，正規分布ではないと思うのですが。どなたか考え方のヒントだけでも結構ですので，ご教示いただければ幸いです。

No.07627　Re: 2つのランダム点間の距離の分布　　【青木繁伸】　2008/09/12(Fri) 22:57

何に似ているんでしょうね？
平方距離なら自由度2のカイ二乗分布？√を取ったら，χ分布？
グラフをクリックすると原寸表示↓

No.07653　Re: 2つのランダム点間の距離の分布　　【orz】　2008/09/16(Tue) 16:44

青木様：
早速にコメントをいただき，ありがとうございます。確かに，X軸方向の差(x1-x2)とY軸方向の差(y1-y2)が，それぞれ独立に標準正規分布N(0,1)に従うならば，2点間の平方距離D=(x1-x2)^2 + (y1-y2)^2の値は，自由度2のカイ自乗分布に従いますね。なるほど，そうすると私の最初の質問に答えるには，(x1-x2)と(y1-y2)が N(0,1)に従わない場合を考えてやればいいわけですね。
正規分布とカイ自乗分布の関係をちゃんと理解できれば，この問に答えられるかもと期待して，手元の参考書やネット上の資料をいろいろと調べています。が，行き詰っています。どうか，今一度，考え方はここに載っているよとか，ご助言をいただけないでしょうか。

No.07655　Re: 2つのランダム点間の距離の分布　　【orz】　2008/09/16(Tue) 17:14

平方距離Dは，「非心カイ二乗分布」という分布に従うのかもしれません。ウィキペディアに載っていました。

No.07656　Re: 2つのランダム点間の距離の分布　　【青木繁伸】　2008/09/16(Tue) 21:07

> ウィキペディアに載っていました。

すみませんけど，その URL を示しておいていただけるとうれしいのですが。

No.07657　Re: 2つのランダム点間の距離の分布　　【orz】　2008/09/17(Wed) 09:31

URLは，下記のとおりです。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9D%9E%E5%BF%83%E3%82%AB%E3%82%A4%E4%BA%8C%E4%B9%97%E5%88%86%E5%B8%83
とても長いので，貼り付けるのをためらいました。失礼いたしました。

PQ 間のX軸方向の差x1-x2とY軸方向の差y1-y2は，それぞれ，N(u1-u2, a+b)とN(v1-v2, a+b)に従う確率変数ですので，{(x1-x2)^2 + (y1-y2)^2}/(a+b) は，非心カイ自乗分布に従う確率変数となります。この分子が，平方距離Dであることを利用して，最初の問いである，「PQ間のユークリッド距離dの確率分布」を導くことができました。

「カイ自乗分布」というヒントをいただいたおかげで，自分なりの答えにたどり着くことができました。ありがとうございました。

No.07658　Re: 2つのランダム点間の距離の分布　　【青木繁伸】　2008/09/17(Wed) 10:02

そこにも書いてあるように，非心度λ = 0 の非心カイ二乗分布はカイ二乗分布ですよね。