「統計学関連なんでもあり」の過去ログ--- 041

No.06324　相関比と決定係数　　【suzuki】　2008/04/10(Thu) 10:54

http://aoki2.si.gunma-u.ac.jp/R/correlation-ratio.html に「一方の変数が質的データで，もう一方の変数が量的データのときに，二変数間の関連を示す指標として相関比と決定係数を求める。」とありますが，相関比を決定係数と呼ぶこともあるのでしょうか？次のように理解しています。「相関係数の二乗が決定係数である。例えば，変数xと変数yとの間の相関係数が 0.7の場合，決定係数は0.49で，変数xの変動の49%が変数yの変動で説明できることを意味する。相関係数は線形関係の強さを定量化するのに用いられ，相関比は非線形（U型曲線など）関係の強さを定量化するのに用いることができる。」

No.06325　Re: 相関比と決定係数　　【青木繁伸】　2008/04/10(Thu) 11:47

言葉（プログラム）が足りないと言われればそうなんですが。

ここでの決定係数は，群をダミー変数として対象変数を回帰分析（数量化 I 類と同じ）したときの決定係数（R^2）を指しているということを前提とする。
相関比 η の二乗が決定係数と等しいということです。つまり，相関比は重相関係数と同じになる。η=R，η^2=R^2
> dat <- matrix(c(rep(1:3, each=4), 3, 3, 4, 2, 5, 2, 3, 4, 8, 8, 5, 6), nc=2)
> df <- as.data.frame(dat)
> df$V1 <- factor(df$V1)
> ans <- lm(V2~V1, df)
> ans

Call:
lm(formula = V2 ~ V1, data = df)

Coefficients:
(Intercept)          V12          V13  
       3.00         0.50         3.75  

> summary(ans)

Call:
lm(formula = V2 ~ V1, data = df)

Residuals:
       Min         1Q     Median         3Q        Max 
-1.750e+00 -8.125e-01  2.107e-16  1.063e+00  1.500e+00 

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)    3.000      0.618   4.854 0.000903 ***
V12            0.500      0.874   0.572 0.581275    
V13            3.750      0.874   4.291 0.002018 ** 
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 

Residual standard error: 1.236 on 9 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.7069,	Adjusted R-squared: 0.6418 # 決定係数（重相関係数の二乗）
F-statistic: 10.85 on 2 and 9 DF,  p-value: 0.003994 

# 相関比
> correlation.ratio(dat[,2], dat[,1])
[1] 0.8407896
# 相関比の二乗
> correlation.ratio(dat[,2], dat[,1])^2
[1] 0.7069272

No.06328　Re: 相関比と決定係数　　【suzuki】　2008/04/10(Thu) 16:33

迅速な対応をありがとうございます。