「統計学関連なんでもあり」の過去ログ--- 041

No.05854　ガンマ分布　　【いえ】　2008/02/15(Fri) 12:48

御教示お願いいたします。

ガンマ分布の確率密度関数値が1を超えてしまいました。累積確率は1になるのが普通なのでこのようなことはないと思うのですが。
よろしくお願いいたします。

No.05855　Re: ガンマ分布　　【青木繁伸】　2008/02/15(Fri) 12:51

どのような計算をしたのかわからないので，コメントの付けようがないですね
計算間違えなのか，理論が間違えているのか，もしかして使ったプログラムのバグだとか

No.05856　Re: ガンマ分布　　【いえ】　2008/02/15(Fri) 13:02

ガンマ分布関数の値を返すエクセル関数のGAMMADIST（マハラノビス距離，項目数,項目数)を用いて計算しました。その結果ある値で1を超えてしまいました。
よろしくお願いいたします。

No.05857　Re: ガンマ分布　　【TY】　2008/02/15(Fri) 13:12

密度関数は1を超えることがあります。例えば，区間(0,0.5)の一様分布の確率密度関数の値は区間(0,0.5)で2になります。

No.05858　Re: ガンマ分布　　【青木繁伸】　2008/02/15(Fri) 13:21

それをどのように使ったのかわかりません。

> ガンマ分布関数の値を返すエクセル関数のGAMMADIST（マハラノビス距離，項目数,項目数)を用いて計算しました

客観的にこの文章を読んで，何をどうやったかわかるとお思いですか？

マハラノビス距離はガンマ分布に従いますか？
ガンマ分布の2つの引数となっている項目数ってなんですか？
ガンマ分布の2つの引数として適切なんですか？
GAMMADISTは4つ引数が必要ですが，4つめは何だったのですか？
というか，そのへんな結果になったときの =GAMMADIST(x,y,z,w)　のx，y，z，wって具体的には何だったのですか。

No.05859　Re: ガンマ分布　　【青木繁伸】　2008/02/15(Fri) 13:25

あ，なんだ。「確率密度関数値が1を超えて」って書いてあるじゃないですか。

TY さんの言うように，超えることがあるのは当たり前です。

No.05860　Re: ガンマ分布　　【いえ】　2008/02/15(Fri) 13:31

説明不足で申し訳ありませんでした。

＞=GAMMADIST(x,y,z,w)　のx，y，z，wって具体的には何だったのですか
GAMMADIST(1.01,8,0.125,false)としたときの値が1.10となりました。

>「確率密度関数値が1を超えて」って書いてあるじゃないですか。
確率密度関数を∞～∞を積分すると確率は1になると思い込んでいるのですのがそれは違うのでしょうか？初歩的な質問で申し訳ありません。

No.05861　Re: ガンマ分布　　【青木繁伸】　2008/02/15(Fri) 13:33
> x <- seq(0,1,length=300)
> plot(x, dgamma(x, 20, 50), type="l")
図のようになります

No.05862　Re: ガンマ分布　　【青木繁伸】　2008/02/15(Fri) 13:42

積分というのは，xが特定の値のときの「関数値f(x)を単に合計する」もんじゃ＊な＊い＊ですよ。

No.05863　Re: ガンマ分布　　【いえ】　2008/02/15(Fri) 13:54

ありがとうございました。単に関数値を合計すればいいものだと思っていました。

追加質問で申し訳ないのですが，テキストなどで正規分布曲線の確率密度関数値が1を超えないのは，全体の平均が0，平均との差が1を超えないという理由でいいのでしょうか？

No.05864　Re: ガンマ分布　　【青木繁伸】　2008/02/15(Fri) 13:57

Excel の GAMMADIST と R の dgamma は，パラメータの定義が異なるので，とまどうが，
GAMMADIST(1.01,8,0.125,false) = 1.105196656
は，
> dgamma(1.01, 8, 1/0.125)
[1] 1.105196655977464
ですね。

No.05865　Re: ガンマ分布　　【青木繁伸】　2008/02/15(Fri) 14:10

No. 5863

> 正規分布曲線の確率密度関数値が1を超えないのは，全体の平均が0，平均との差が1を超えないという理由

「平均との差が1を超えない」とはどういうことでしょうか？

あなたもおっしゃっているように，確率密度関数を確率変数の変閾内で積分したら1になるということに尽きると思いますが？

正規分布なら－∞～＋∞まで積分すると1になるということです。
積分の意味を考えるなら，-3 から 3 までを12等分して台形の面積を求めるといくつになるか（中点の確率密度を求めて，長方形の面積を計算しても良いけど）。
-10から10まで1000区分して台形の面積を求めるといくつになるか。

No.05866　Re: ガンマ分布　　【青木繁伸】　2008/02/15(Fri) 14:18

> x <- seq(-3, 3, by=0.5)
> y <- dnorm(x)
> plot(x, y, type="l")
> junk <- sapply(x, function(x1) lines(c(x1, x1), c(0, dnorm(x1))))
> lines(c(-3, 3), c(0, 0))
> x2 <- seq(-3, 3, length=300)
> lines(x2, dnorm(x2), col="red")
> s <- sum((2*y-y[1]-y[13])*0.5/2)
> cat("area =", s, "\n")
area = 0.9701688878911485

No.05867　Re: ガンマ分布　　【いえ】　2008/02/15(Fri) 14:27

積分値＝台形の面積の総和という意味で理解できました。
初歩的な質問に対して丁寧に対応していただきありがとうございました。