「統計学関連なんでもあり」の過去ログ--- 041

No.05830　比（純支出額/総収入額）の平均　　【石塚】　2008/02/14(Thu) 09:58

　お世話になります．ご教授をお願いいたします．

　例えば，ある家庭の1日あたりの「総支出額」と「総収入額」のデータが12日分あったとして，総支出額/総収入額の「比（0＜比＜1として）の平均」を求めたい場合，以下のように算出するのが妥当なのでしょうか？あるいは，それ以前に「比の平均」は意味のないものなのでしょうか？

1日毎の比（12個）を算出し，その合計を12で割る．

あるいは，

12日分の総支出額と総収入額の合計をそれぞれ算出し，「12日分の総支出額」/「12日分の総収入額」で比を求める．ただ，この場合「比の平均」ではなく，「12日分合計の総支出額/総収入額の比」と思うのですが．

　以前にも同様の質問があったかと思いますが，よく理解できませんでした．
　よろしくお願いします．

No.05831　Re: 比（純支出額/総収入額）の平均　　【青木繁伸】　2008/02/14(Thu) 10:30

日数を3日分くらいにして，式を立てて比較すればご理解いただけると思いますが，簡単な実例を挙げてみましょうか？
日付    総支出額    総収入額    総支出額/総収入額
   1        9          12             0.75
   2        8          10             0.8
   3        2           4             0.5
合計       19          26          0.730769231 (= 19/26)　←　合計の比

毎日の「総支出額/総収入額」の平均  ←　単純平均                 
= (0.75+0.8+0.5) / 3 = 0.683333333

重み付け平均 = 0.75*(12/26)+0.8*(10/26)+0.5*(4/26) = 0.730769231 = 19/26
             = (0.75*12)/26+(0.8*10)/26+(0.5*4)/26
             = (9+8+2)/26 = 19/26 = 0.730769231 = 合計の比
日別の比の平均値と総支出額の合計と総収入額の合計が同じになるのは，日別の総収入額が一定の場合のみです（重み付け平均値という考え方で説明すれば，重みが1の場合。つまり普通の平均値）。

どちらが良いかは，明らかとは思いますが，比の平均値を取る方が好きだということもあるでしょう。

No.05833　Re: 比（純支出額/総収入額）の平均　　【石塚】　2008/02/14(Thu) 11:34

ご教授ありがとうございました．

この場合は，「重み付け平均」で算出する方が適当であるとわかりました．

そこで，もう一つお伺いしたいのですが，重み付け平均の「標準偏差：SD」はどうのように算出すれば良いのでしょうか？
　
よろしくお願いします．

No.05834　Re: 比（純支出額/総収入額）の平均　　【青木繁伸】　2008/02/14(Thu) 11:49

> 重み付け平均の「標準偏差：SD」

重み付け標準偏差といいたいのかな？

そういうものを余り見たことがないけど，定義から言えば，上の例だと
重み付け標準偏差=√（重み付け分散）
重み付け分散= (0.75-19/26)^2*(12/26) + (0.8-19/26)^2*(10/26) + (0.5-19/26)^2*(4/26) = 0.010207101 かなあ？

No.05836　Re: 比（純支出額/総収入額）の平均　　【石塚】　2008/02/14(Thu) 12:30

ご教授ありがとうございます．

自分でも「重み付け平均の標準偏差」とは？を考えてみたのですが，以下の算出法は妥当なのでしょうか？

つまり，上の例で言えば，総支出額/総収入額の比である0.75と0.8と0.5が，それぞれ，12個，10個，4個あると考えて，計26個のデータ群から標準偏差を求める！？

この考え方で計算すると，分散が0.010615385となって，青木先生の値とよく似るのですが．．．．

よろしくお願いします．

No.05837　Re: 比（純支出額/総収入額）の平均　　【青木繁伸】　2008/02/14(Thu) 13:03

私が計算したのは「分散」
あなたが計算したのは「不偏分散」

n をサンプルサイズとすると
不偏分散 = 変動/(n-1)
分散 = 変動/n
よって，
不偏分散 =分散*n/(n-1)
= ((0.75-19/26)^2*(12/26) + (0.8-19/26)^2*(10/26) + (0.5-19/26)^2*(4/26))*26/25
= 0.010615385 ←　あなたの値と一致

No.05839　Re: 比（純支出額/総収入額）の平均　　【石塚】　2008/02/14(Thu) 16:53

ご教授，ありがとうございました．

つまり，上記の例の場合のデータが標本データである場合は，不偏分散からSDを求めて，母集団である場合は分散からSDを求めるのですね．

今回，分散は2種類あることを初めて知りました．

さらに勉強したいと思います．

ありがとうございました．