「統計学関連なんでもあり」の過去ログ--- 041

No.05789　n=2での標準偏差　　【佐々木】　2008/02/10(Sun) 00:20

非常に基本的なことで恐縮なのですが，標準偏差と標本数に関することでおうかがいしたいことがございます。どなたか，ご教授頂けますと幸いです。

ある同一の実験を複数回行って標準偏差を求める際，n=2では標準偏差は求められない，と聞いた記憶があるのですが，その理由がわかりません。自由度1で求めた値には，「母集団平均からの標本値のずれが標準的にどれくらいか」といった意味がないのでしょうか。そうであるならば，この値は何を意味しているのでしょうか。もしくは，数学的に意味がないということではなく，実用的ではないということなのでしょうか。
よろしくお願い致します。

No.05791　Re: n=2での標準偏差　　【青木繁伸】　2008/02/10(Sun) 13:09

> n=2では標準偏差は求められない

ここでの標準偏差は不偏分散の平方根でしょうかね
不偏分散の定義式を見ると n=2 であっても求まることが分かりますね
不偏分散が求まったら，平方根を取ることもできますね
よって，n=2 でも標準偏差は求まります
Rでやってみましょうか？
> sd(c(2.3, 4.5)) # 2.3 と 4.5 の標準偏差
[1] 1.555635
> sd(rnorm(2)) # 2個の正規乱数の標準偏差（実行するたびに結果は変わる）
[1] 0.577088
求めることができるのと，求められた標準偏差がどの程度の意味を持つかが別物であるのは言うまでもないことです。

No.05795　Re: n=2での標準偏差　　【佐々木】　2008/02/10(Sun) 23:43

青木様，お答え頂きありがとうございます。
Rでの例までお示し頂き恐縮です。

>ここでの標準偏差は不偏分散の平方根でしょうかね
おっしゃるとおりです。

>求めることができるのと，求められた標準偏差がどの程度の意味を持つかが別物
つまり，求めた値は確かに「標準偏差」を表す値であり，n=2では母集団の推定精度が最も低いだけ，との理解でよろしいでしょうか。

度々申し訳ありませんが，ご教授頂けますと幸いです。

No.05796　Re: n=2での標準偏差　　【青木繁伸】　2008/02/11(Mon) 10:18

> n=2では母集団の推定精度が最も低いだけ

標準正規分布からn=2, 20, 200 を10000回標本抽出して標準偏差を求め，ヒストグラムに描いてよく見てみる。
図をクリックすると原寸大に拡大

No.05805　Re: n=2での標準偏差　　【佐々木】　2008/02/11(Mon) 19:54

青木様

レベルの低い質問にも関わらず，お答え頂きありがとうございます。

図を拝見しました。おかげさまで，n=2で標準偏差の値を得ても，その値をもって「平均値±標準偏差の間に母集団の約68%が存在する～」などという話をするのが適切ではないことが実感としてよくわかりました。
n=3のときなども試してみまして，標準偏差を求める際は「最低でも」n=3から，と言われた意味がわかりました（わかった"つもり”なのかもしれませんが……）。

ご迷惑かとは存じますが，最後にもう1つだけお訊かせ頂けませんでしょうか。
n=2の実験結果から，分布を要約するものとして提示できる意味のある値は，平均値しかないという理解でよろしいでしょうか。
（例えば，論文などでグラフに書けるのは平均値のみでしょうか。平均値の標準誤差も，標準偏差と同様で適切ではありませんし……）

よろしければ，ご教示頂きたくお願い申し上げます。

No.05806　Re: n=2での標準偏差　　【青木繁伸】　2008/02/11(Mon) 21:51

> n=2の実験結果から，分布を要約するものとして提示できる意味のある値は，平均値しかないという理解でよろしいでしょうか。

平均値の推定値だってあてにならないのは同じですよ
以前と同じ条件で平均値を計算してみました。。という結果

No.05827　Re: n=2での標準偏差　　【佐々木】　2008/02/13(Wed) 01:45

青木様

度々ご回答頂き，恐縮です。
平均値の分布も拝見しましたが，おっしゃるとおりで，平均値の推定も十分な標本数がなければあてにならないものですね……。

とは言え，実務の都合上でn数が2のこともよくありまして，なんとも困りました。
とりあえず，n=2の際には平均値のみを示すこととなりそうです。

色々とご丁寧に教えて頂き，誠にありがとうございました。
おかげさまで，大変勉強になりました。