「統計学関連なんでもあり」の過去ログ--- 041

No.05754　従属変数と独立変数を交換した回帰分析に意味はあるのか　　【mn】　2008/02/07(Thu) 18:44

こんにちは．

「No.03541　回帰直線　　【ジョー】　2007/06/02(Sat) 16:33」の記事について
> 予測する変数を従属変数として回帰式を求め直す方が良い
と記述がありましたが，これについて質問があります．

ある離散的なXの場合における測定結果Yが得られたとします．
ex.) X=-10のときY=0.1, X=0のときY=0.2，X=10のときY=0.3 etc...
同じXの値に対するYの値は(異なる値で)複数得られています．
ex.) X=-10のときY=0.1，X=-10のときY=1.5 etc...
このデータセットを散布図に示せば，横軸にX・縦軸にYをとることになるかと思います．この場合従属変数がY，独立変数がXになるはずです．

ここでこれらの計測結果を利用してYからXを求めたい(推定したい)とします．Xに対するYの関係をみるにはXからYへの回帰直線を求めればいいと思います．そしてその回帰直線の推定誤差が十分0に近いならば，XからYへの逆関数でYからXも推定できるものと認識しています．しかしこの例ではXに対するY は誤差をもって観測されてるため，逆関数を利用してYからXを推定することはできないと考えています．
そこで下記3つの質問があります．

(1) 前述のデータセットを(計測時の意味とは異なるわけですが)Xを従属変数，Yを独立変数とみなして回帰直線を求めることが1つの案として考えられます．この操作は冒頭の引用文で触れられたことだと思うのですが，統計の処理としてこのように変数を入れ替えて解釈することは可能なのでしょうか．

(2)もしくはYからXの推定には，XからYへの回帰直線の逆関数を利用し，Yに対するXの範囲を確率的に示すことが正しいのでしょうか．
ex.) Y=1.5のときXが[-5, 5]で示される範囲に入る確率は68％のように

(3)前述のようなデータセットが与えられた場合，YからXを推定したい場合に回帰分析以外の方法というのはあるのでしょうか．

以上です．ご教授をお願いいたします．

No.05755　Re: 従属変数と独立変数を交換した回帰分析に意味はあるのか　　【青木繁伸】　2008/02/07(Thu) 19:08

どちらの変数の数値も前もって選ばれるものではないなら，予測する変数の方を従属変数にすることです
お尋ねのように，xが前もってある値に指定されて（決められて，選ばれて）そのときのyの値を測定してというような場合，つまり，検量線を描くような場合は，yからxを読むのは，逆関数を使いますね

No.05763　Re: 従属変数と独立変数を交換した回帰分析に意味はあるのか　　【mn】　2008/02/08(Fri) 00:23

> どちらの変数の数値も前もって選ばれるものではないなら，予測する変数の方を従属変数にすることです

その様な理由で「No.03541　回帰直線」では変数の入れ替えという話になるのですね．理解できました．

> つまり，検量線を描くような場合は，yからxを読むのは，逆関数を使いますね

こちらのケースの場合，回帰直線の逆関数をつかってYからXを推定した場合の誤差はどのような分布に従うことになるのでしょうか．XからYへの回帰直線を引いた場合，(XからYを推定した結果の)残差は平均0，分散sigma^2の正規分布にしたがうものと認識しております．しかし逆関数を利用してYからX を推定させた場合，Xの推定値の誤差の分布はどうなるのでしょうか．そもそもXに対してYがある幅(誤差)をもって観測されている以上，YからXを一意に求めることはできないと考えているのですが(ただ，そもそも誤差を織り込んで回帰直線があるのだから逆関数にしてもYからXは一意に定まると考えるべきという思いもあります)．これがNo.5754の(2)の疑問につながっています．

そもそも逆関数でYからXを推定した場合の誤差を考えること自体が誤りなのでしょうか(もともとは決められたXにおけるYを測定したデータから回帰直線を求めているため)．

No.05774　Re: 従属変数と独立変数を交換した回帰分析に意味はあるのか　　【mn】　2008/02/08(Fri) 14:01

改めて従属変数から独立変数の推定について調べましたところ，「回帰逆推定」というキーワードで検索をおこなうと望む操作についての解説が得られました．
逆推定についての詳細は省きますが，検索すればいくつかみつかりますのでそちらを参考にすればよろしいかと思います．