「統計学関連なんでもあり」の過去ログ--- 041

No.05034　標本平均　　【GN】　2007/12/12(Wed) 20:56

統計学初心者です。検定の問題を解いてるときに標本平均をいつもと違う取り方をしていて，標本分散が求められず，困っています。
アドバイスをいただけないでしょうか。

問題ですが，

n個の確率変数X1,...,Xn が独立に正規分布N(μ, 1)にしたがう。
分散は既知とする。　
帰無仮説 H0: μ = 0, 対立仮説 H1: μ = 1

標本平均X'を
X'=Σa(i)*Xi　ただし Σa(i)=1 (ここで a(i) は数列 {a(n)}の第i項)
とするとき
有意水準αとなるような棄却域を構成せよ。

です。
標本分散V(X')が求まれば…　X'の分布を正規化してすぐに解ける問題だと思うのですが，分散が求まりません。

自分なりに計算したら　　V(X') = E((X-μ)^2)　= n * Σ(a(i))^2
となり　よくわからない結果になります。
もしよければアドバイスをください。お願いします。

No.05035　Re: 標本平均　　【青木繁伸】　2007/12/12(Wed) 21:34

問題のための問題であって，実務上の問題に直面していると言うことではないわけですね。

問題は，a(i)が数列などと書いてありますが，条件を見れば重み付けの平均ですねぇ。
a(i) = 1/n, i=1,2, ..., n のときの分散が幾つになるかは分かっているわけで，導いた数式の正否のチェックはできますね。
で，なおかつ探索するなら，以下のようなシミュレーションをやってみると，なんとなく解は分かるかも。それが正しいかどうかはちゃんと問題を解いてみれば分かります。
sim <- function(n, loop=100000)
{
	w <- runif(n)
	w <- w/sum(w)
	a <- replicate(loop, sum(w*rnorm(n)))
	return(c(mean=mean(a), var=var(a), ans=sum(w^2)))
}
### 実行結果は以下の通り
> sim(100)
        mean          var          ans 
0.0003013794 0.0134424883 0.0134458341 
> sim(10)
       mean         var         ans 
0.001593601 0.173554804 0.175264940 

No.05036　Re: 標本平均　　【GN】　2007/12/12(Wed) 21:55

早急な回答ありがとうございました。
問題のような推定量の取り方を　重み付き標本平均というのですね。初めて知りました。

Σa(i) = 1 の条件から，うまく計算すれば標本分散が　a(i) によらないきれいな形になると，たかをくくっていたのがよくなかったみたいです。a(i)の取り方に依存することがわかりました。

私のために時間を割いていただきありがとうございました。参考になりました。

No.05037　Re: 標本平均　　【青木繁伸】　2007/12/12(Wed) 22:52

> Σa(i) = 1 の条件から，うまく計算すれば標本分散が a(i) によらないきれいな形になるとたかをくくっていたのがよくなかったみたいです。a(i)の取り方に依存することがわかりました。

十分きれいな形になっていますよね?

No.05039　Re: 標本平均　　【GN】　2007/12/12(Wed) 23:00

きれい　というか，a(i)を含まない形になると思っていたのです。

No.05044　Re: 標本平均　　【青木繁伸】　2007/12/12(Wed) 23:14

a(i) と無関係な形になると思う方が不思議ですが?