「統計学関連なんでもあり」の過去ログ--- 041

No.04611　標本分散の合併について　　【名刺男】　2007/11/02(Fri) 11:18

標本分散の合併についてわからないことがございます。
------------------------------------------------------
標本Aの分散：∑{(Xi - Xmean)^2} / (n-1)
標本Bの分散：∑{(Yi - Ymean)^2} / (m-1)

標本分散の合併（A+B）
∑{(Xi - Xmean)^2} + ∑{(Yi - Ymean)^2} / (n-1) + (m-1)

Xmean(Ymean)は標本A(B)の標本平均です。
分散は未知だが等しいことがわかっている。
------------------------------------------------------
上記はハンバーガー統計学という本の推定母分散の式として載っていました。
（少し書き方を変えていますが）
(http://kogolab.jp/elearn/hamburger/chap4/sec3.html)

なぜ，AとBの分母同士，分子同士足し合わすのでしょうか？
そのようなことをしてもよいのでしょうか？

なぜ，
∑{(Xi - Xmean)^2} / (n-1) + ∑{(Yi - Ymean)^2} / (m-1)
では駄目なのでしょうか？

いろんな本で調べましたが，解説している本は見つかりませんでした。
教えていただけましたら幸いです。
以上，宜しくお願いいたします。

No.04612　Re: 標本分散の合併について　　【青木繁伸】　2007/11/02(Fri) 11:41

> なぜ，AとBの分母同士，分子同士足し合わすのでしょうか？

単純に分母同士，分子同士を足し合わせているのじゃないですよ。
「プール」しているのです

> （少し書き方を変えていますが）

書き方を変えたらだめです（正しい式変形ならいいのですが）

本人はわかっているのでしょうが，
　　∑{(Xi - Xmean)^2} + ∑{(Yi - Ymean)^2}/ (n-1) + (m-1)
なんて書き方はだめです
　　(∑{(Xi - Xmean)^2} + ∑{(Yi - Ymean)^2}) / ((n-1) + (m-1))
としなければだめです。
演算順序って言うものがありますよね。

推定母分散として
（Aの変動+Bの変動)/自由度
を使うことについて，書いていない本はないと思うが，それについて詳しい解説はしていないということならそうかもしれないが，件のページではそれについて詳しい解説をしているでしょう

> なぜ，
> ∑{(Xi - Xmean)^2} / (n-1) + ∑{(Yi - Ymean)^2} / (m-1)
> では駄目なのでしょうか？

間違えているから。。。としか言えないのでは？

No.04688　Re: 標本分散の合併について　　【名刺男】　2007/11/12(Mon) 14:19

丁寧にご回答していただき，ありがとうございました。
お返事遅れまして申し訳ございません。

おっしゃるとおり，演算順序を無視した式を書いてしまいました・・・。
申し訳ありません。

プールの意味がよく理解できておりませんが，
いろいろ調べましたら，カイ二乗分布の性質からきている
ということでしたので，この辺をもっと勉強いたします。