「統計学関連なんでもあり」の過去ログ--- 040

No.02977　Re: (x1+x2+…+xn)^4 の一般項　　【たなか】　2007/03/11(Sun) 20:27

（x1＋…xn)/n のとがりを求める際，使うのですが，（x1＋…xn)^4
って展開したときの一般式はどうなるのでしょうか？式をみてもよくわからないので教えてください。
お願いします。

No.02986　Re: (x1+x2+…+xn)^4 の一般項　　【青木繁伸】　2007/03/12(Mon) 14:27

必要なんですか？
x1, x2, ... を，a, b, ... で置き換えて，以下のような R で数式処理をする関数を書いてみて，

eq <- function(n)
{
	x <- letters[1:n]
	ans <- as.vector(outer(x, x, paste, sep=""))
	ans2 <- as.vector(outer(ans, ans, paste, sep=""))
	ans3 <- sapply(ans2, function(s) table(unlist(strsplit(s, ""))))
	ans4 <- lapply(ans3, function(i) {i <- ifelse(i == 1, "", paste("^", i, sep=""))
						paste(names(i), i, sep="")})
	ans5 <- sort(table(unlist(lapply(ans4, paste, sep="", collapse="*"))))
	ans6 <- paste(ifelse(ans5 == 1, "", paste(ans5, "*", sep="")), 
			names(ans5), sep="", collapse="+")
	return(ans6)
}

eq(5) とか eq(6) とかやってみて，一般法則を導き出す？本当にそんなこと必要なんですか？

> eq(5)
4次の項，係数は1
[1] "a^4+b^4+c^4+d^4+e^4
3次の項，係数は4
+4*a*b^3+4*a*c^3+4*a*d^3+4*a*e^3+4*a^3*b+4*a^3*c+4*a^3*d+4*a^3*e+4*b*c^3+4*b*d^3
+4*b*e^3+4*b^3*c+4*b^3*d+4*b^3*e+4*c*d^3+4*c*e^3+4*c^3*d+4*c^3*e+4*d*e^3+4*d^3*e
2次の項，係数は6
+6*a^2*b^2+6*a^2*c^2+6*a^2*d^2+6*a^2*e^2+6*b^2*c^2+6*b^2*d^2+6*b^2*e^2+6*c^2*d^2
+6*c^2*e^2+6*d^2*e^2
もう一種類の2次の項，係数は12
+12*a*b*c^2+12*a*b*d^2+12*a*b*e^2+12*a*b^2*c+12*a*b^2*d+12*a*b^2*e+12*a*c*d^2
+12*a*c*e^2+12*a*c^2*d+12*a*c^2*e+12*a*d*e^2+12*a*d^2*e+12*a^2*b*c+12*a^2*b*d
+12*a^2*b*e+12*a^2*c*d+12*a^2*c*e+12*a^2*d*e+12*b*c*d^2+12*b*c*e^2+12*b*c^2*d
+12*b*c^2*e+12*b*d*e^2+12*b*d^2*e+12*b^2*c*d+12*b^2*c*e+12*b^2*d*e+12*c*d*e^2
+12*c*d^2*e+12*c^2*d*e
1次の項，係数は24
+24*a*b*c*d+24*a*b*c*e+24*a*b*d*e+24*a*c*d*e+24*b*c*d*e"

> eq(6)
[1] "a^4+b^4+c^4+d^4+e^4+f^4+4*a*b^3+4*a*c^3+4*a*d^3+4*a*e^3+4*a*f^3+4*a^3*b
+4*a^3*c+4*a^3*d+4*a^3*e+4*a^3*f+4*b*c^3+4*b*d^3+4*b*e^3+4*b*f^3+4*b^3*c
+4*b^3*d+4*b^3*e+4*b^3*f+4*c*d^3+4*c*e^3+4*c*f^3+4*c^3*d+4*c^3*e+4*c^3*f
+4*d*e^3+4*d*f^3+4*d^3*e+4*d^3*f+4*e*f^3+4*e^3*f+6*a^2*b^2+6*a^2*c^2+6*a^2*d^2
+6*a^2*e^2+6*a^2*f^2+6*b^2*c^2+6*b^2*d^2+6*b^2*e^2+6*b^2*f^2+6*c^2*d^2+6*c^2*e^2
+6*c^2*f^2+6*d^2*e^2+6*d^2*f^2+6*e^2*f^2+12*a*b*c^2+12*a*b*d^2+12*a*b*e^2
+12*a*b*f^2+12*a*b^2*c+12*a*b^2*d+12*a*b^2*e+12*a*b^2*f+12*a*c*d^2+12*a*c*e^2
+12*a*c*f^2+12*a*c^2*d+12*a*c^2*e+12*a*c^2*f+12*a*d*e^2+12*a*d*f^2+12*a*d^2*e
+12*a*d^2*f+12*a*e*f^2+12*a*e^2*f+12*a^2*b*c+12*a^2*b*d+12*a^2*b*e+12*a^2*b*f
+12*a^2*c*d+12*a^2*c*e+12*a^2*c*f+12*a^2*d*e+12*a^2*d*f+12*a^2*e*f+12*b*c*d^2
+12*b*c*e^2+12*b*c*f^2+12*b*c^2*d+12*b*c^2*e+12*b*c^2*f+12*b*d*e^2+12*b*d*f^2
+12*b*d^2*e+12*b*d^2*f+12*b*e*f^2+12*b*e^2*f+12*b^2*c*d+12*b^2*c*e+12*b^2*c*f
+12*b^2*d*e+12*b^2*d*f+12*b^2*e*f+12*c*d*e^2+12*c*d*f^2+12*c*d^2*e+12*c*d^2*f
+12*c*e*f^2+12*c*e^2*f+12*c^2*d*e+12*c^2*d*f+12*c^2*e*f+12*d*e*f^2+12*d*e^2*f
+12*d^2*e*f+24*a*b*c*d+24*a*b*c*e+24*a*b*c*f+24*a*b*d*e+24*a*b*d*f+24*a*b*e*f
+24*a*c*d*e+24*a*c*d*f+24*a*c*e*f+24*a*d*e*f+24*b*c*d*e+24*b*c*d*f+24*b*c*e*f
+24*b*d*e*f+24*c*d*e*f"

No.02989　Re: (x1+x2+…+xn)^4 の一般項　　【kzkishi】　2007/03/13(Tue) 14:14

多分，たなかさんがお知りになりたいのは，多項定理のことでしょう。
http://ja.wikipedia.org/wiki/二項定理
（頁の下の方にあります。）

でもねえ，それでも，必要なんでしょうかねえ。
とがりを求めるっていうのが，尖度を計算するという意味なら，RでもS-Plusでも何でも簡単にできるでしょうし。
Excelにだって関数ありますよ（"=KURT(～)"…正しい計算結果かどうか知りませんが）。