「統計学関連なんでもあり」の過去ログ--- 040

No.02876　判別関数係数　　【ケチャップ】　2007/02/28(Wed) 17:13

判別分析（記述的なものを想定してます）の結果，有意な判別関数は1つだけみつかりました。
その後，標準化された判別関数係数と構造係数（structure coefficient）が計算されたのですが，

判別関数係数構造係数
x1　　0.613　　　0.500
x2　　2.125　　　0.583
x3　　-1.534　　　0.321

のようになっていました。x3の判別関数係数はマイナスなのに，構造係数がプラスになっているのは，どうしてなのでしょうか。もしかするとx2とx3には0.90の強い相関があることと関係があるのでしょうか。

No.02902　Re: 判別関数係数　　【ファン】　2007/03/01(Thu) 19:59

>もしかするとx2とx3には0.90の強い相関があることと関係があるのでしょうか。

その通りですね。一般に，統計的な多変量の式を「普通の数式のように解釈してはいけない」，という好例になっていると思います。なので以下，少し突っついてみますね。
数値例「 z = y - x なのに，z と x の相関が正？？？」
> y = c(5, 0, 0)
> x = c(5, 1, 0)
> z = y - x
> cor(cbind(z, y, x)) #相関係数
          z         y         x
z 1.0000000 0.5000000 0.3273268
y 0.5000000 1.0000000 0.9819805
x 0.3273268 0.9819805 1.0000000
二変量の場合の一般的関係：
　　z = αy - βx　（α, β > 0）
　　Cov(z, x) = Cov(αy - βx, x) = αCov(y, x) - βVar(x)
　よって
　　Cov(z, x) > 0 ⇔ αCov(y, x) > βVar(x) ⇔ α[Cov(y, x) / Var(x)] > β

Cov(y, x) / Var(x) は y を x に回帰した傾きを表している。この傾きを正と考えると，，，
1) x が 1 単位「増加」する。
2) [直接変化] z = αy - βx なので，z は β だけ「減少」する。
3) [間接変化] データが持つ統計的構造から，y も Cov(y, x) / Var(x) だけ（平均的に）増加し，z はそれに α を掛けた分だけ「増加」する。
4) （他の変量を通じた）間接的な増加が，直接的な減少を上回れば，x ⇒ z の影響は正になる。