「統計学関連なんでもあり」の過去ログ--- 040

No.02725　回帰して傾きを比較してよいのか　　【su】　2007/02/13(Tue) 08:11

10種類の異なる行動実験において，対照群及び実験群A，Bから以下のような平均値データを得ました。標本数はいずれも n = 10 前後で，実験により異なります。

   対照　　A　　B
   20%　　15　　10
   18　　 10　　12
   15 　　10　　10
    2　　　1　　-2
    1　　　2　　 2
  -10　　 -5　　-5
  -20　　-15　　-10
  -30　　-18　　-13
  -32　　-20　　-15
  -35　　-20　　-12

一見して，正負いずれの方向の変化も，実験群では対照群に比べて小さいと思われるので，個々のデータを用いて ANOVA で交互作用をみるのが妥当と思われます。

このデータに対して，以下の手法が妥当かどうか悩んでおります。

それぞれの行動実験において，x軸に対照群の平均値，y軸に実験群の平均値をプロットすると，A，B群それぞれ10個の点がプロットされます。もし実験群と対照群に差が無いとすると，これらの点は y = x 上にあるはずですが，多くの点がよりx軸に近いところにプロットされるので，A，Bそれぞれの点を直線回帰して，その傾きを y = x と比較したいと考えています。

1. 3群の傾きを同時に比較する方法はあるでしょうか。
2. そもそもこのような平均値データを直線回帰してよいのでしょうか。
3. その場合，各実験群の標準偏差のデータはどう扱うのでしょうか。

ANOVA よりも直接視覚に訴えるようなきがするというのが，このような解析をしたい動機ですが，御意見を伺えると幸いです。

No.02735　Re: 回帰して傾きを比較してよいのか　　【ファン】　2007/02/14(Wed) 16:46

大雑把な印象ですが，，，

>1. 3群の傾きを同時に比較する方法はあるでしょうか。

C:対照群
Z:もし「10種類の異なる行動」を表す適切な数量的指標があれば，それが Z。無ければ主成分分析の第一主成分（第二第三主成分は微弱なためゼロとみなす）。因子分析の方が良いかどうかも要検討。
(1) C = γ_c・Z + ε_c
(2) A = γ_a・Z + ε_a
(3) B = γ_b・Z + ε_b

>2. そもそもこのような平均値データを直線回帰してよいのでしょうか。

(1') Z = (C - ε_c) / γ_c
これを(2)(3)に代入すれば，C を条件（説明変数）とする（平均値データ間の）回帰式が得られる。

>3. その場合，各実験群の標準偏差のデータはどう扱うのでしょうか。

パス（汗。

No.02738　Re: 回帰して傾きを比較してよいのか　　【青木繁伸】　2007/02/14(Wed) 19:22

> 2. そもそもこのような平均値データを直線回帰してよいのでしょうか

その平均値が計算された元のデータ数が違うので，データポイントには重みをつけて回帰しないといけない。
その面倒をさけるなら，元のデータを使って回帰すればよい。

No.02750　Re: 回帰して傾きを比較してよいのか　　【su】　2007/02/15(Thu) 08:54

回答ありがとうございます。勉強になります。

＞ファンさん

直線回帰の代わりに主成分分析を使う訳ですね。見た目のシンプルさは失われてしまうのですが，シンプルなら正しいとは言えないので，面白いかもしれません。やってみます。

傾きの比較の代わりに，主成分のスコアを検定するにはどうすればよいのでしょうか。

＞青木さん

ややこしいので，対照群Cと実験群Aだけだとします。10の行動実験について（x，y）＝（Cの「平均値」，Aの「平均値」）として10点プロットすることはできるのですが，20のデータポイントがそれぞれ異なるデータ数を持っているので，このやり方では重みをつけたり元データを使うことはできません。

おっしゃるとおり，データ数が違うのに平均値だけで回帰するのはおかしいですね。全ての行動実験に渡って，実験群が対照群より変化が小さいことを示すのに，一目でわかる良い方法だと思ったのですが，何か別の工夫が必要なようです。やはり，ANOVA で交互作用をみるのが妥当でしょうか。

良い方法があれば，御教授いただければ嬉しいです。

No.02755　Re: 回帰して傾きを比較してよいのか　　【ファン】　2007/02/15(Thu) 19:45

>傾きの比較の代わりに，主成分のスコアを検定するにはどうすればよいのでしょうか。

主旨は，suさんの「3群の傾き」というイメージが
>(1) C = γ_c・Z + ε_c
>(2) A = γ_a・Z + ε_a
>(3) B = γ_b・Z + ε_b
のような3次元モデルかな？と感じたところにあります。で，先験的な Z の値が無い時には，主成分分析か因子分析で Z を推定することになるかと。しかし Z 直線の傾きの検定は，やや面倒な統計的問題になりますね。そこで (C,A) および (C,B) 平面に射影して回帰推定を使う，というのが No.2725 を読んだ時に浮かんだ筋書きです。

各平均値を求めた時のデータ数は，「n = 10 前後」の『前後』を見落としていました（汗。しかし回帰モデルなら，C は「条件値＝非確率変数」になるので，ε_c の分散不均一性は考慮する必要が無く，ε_a と ε_b の不均一分散のみを考慮した重み付き回帰で良いかと。ただし別の統計的な問題があって，それは
>(1') Z = (C - ε_c) / γ_c
を(2) (3)に代入すれば明示的な式が得られるように，C と回帰の誤差項（ε_c を含む）が相関（非直交性）を持ち，通常の回帰推定だとバイアスが生じてしまう点です。そのため，「ε_c (の分散)が小さいからバイアスは無視できる」という理由付けや，操作変数推定法を用いるなどの「歯切れの悪さ」が生じます。

以上は，モデルが(1)(2)(3)ならば（しかも ε 間の相関は何も考えていない）という話ですし，どんなモデルが適切かは，その分析対象を扱って居る方にしかわからないことですので，雑談程度に聞き流して下さい。