「統計学関連なんでもあり」の過去ログ--- 040

No.02702　二項分布の最大項　　【Kido】　2007/02/10(Sat) 15:24

数理統計の問題で解らないところがありました。いくら考えても解答の意味がわかりませんので，ご教授の程をお願い致します。

問題
二項分布 Bin(n,p) について f(k＋1)/f(k) = (n-k)/(k+1)×p/q（k = 0, 1, …, n-1) を示し f(0), f(1), …, f(n) の最大項を求めよ。

解答
f(k)≦f(k+1) ⇔ f(k+1)/f(k) ≧ 1
　　　　　　　⇔ (n-k)/(k+1)×p/(1-p) ≧ 1
　　　　　　　⇔ k ≦ (n+1)p-1
ゆえに r ≦ (n+1)p < r+1 なる整数 r をとれば，
f(0) < f(1) < … < f(r-1) ≦ f(r) > f(r+1) > … > f(n)
また，f(r-1) = f(r) ⇔ (n+1)p：整数
したがって，
最大項・・ f(r-1) = f(r)　（(n+1)pが整数のとき）
　　　　　f(r)　（(n+1)p が整数でないとき）
　　　　　ただし，r は(n+1)p の整数部分である。
質問
1．最大項とは f(n) の最大値なのか，最大値をとる f(n) のことなのか。
2．整数 r はなぜ r ≦ (n+1)p < r+1 のような範囲とするのか。
3．なぜ f(0) < f(1) < … < f(r-1) ≦ f(r) > f(r+1) > … > f(n) のような関係になるのか。

以上です。よろしくお願い致します。

No.02703　Re: 二項分布の最大項　　【青木繁伸】　2007/02/10(Sat) 16:39

最頻値はどこになるかという問題でしょう？

No.02704　Re: 二項分布の最大項　　【takahashi】　2007/02/10(Sat) 16:44

2. その範囲より大きくなるとf(k＋1)／f(k)＜0だから，つまり最頻値がその範囲にあるからでしょう。
3. rをそう定義したからでしょう。

No.02705　Re: 二項分布の最大項　　【青木繁伸】　2007/02/10(Sat) 16:53

> f(0), f(1), …, f(n) の最大項

ってかいてあるから，最大の f(i) なんでしょうね。

No.02707　Re: 二項分布の最大項　　【Kido】　2007/02/10(Sat) 18:39

青木先生，takahashiさん，ご教授ありがとうございました。

＞2. その範囲より大きくなるとf(k＋1)／f(k)＜0
なぜこのようになるのかわかりません。

・・・f(r-1) ≦ f(r) > f(r+1) > ・・・の関係はよくわかりません。
・・・f(r-1) ≦ f(r) ＜f(r+1) ＜・・・にはならないのでしょうか？

No.02708　Re: 二項分布の最大項　　【青木繁伸】　2007/02/10(Sat) 18:43

n と p を適当に定めて，f(i), i=0,1,...,n の二項分布を実際に計算して，図を書いてみれば，理解が深まるのでは？
私なんかは，数式ばかり眺めていても，ちんぷんかんぷんです。

No.02709　Re: 二項分布の最大項　　【takahashi】　2007/02/10(Sat) 18:48

No.2704の2は間違いで，「f(k＋1)／f(k)＜1だから」です。ごめんなさい。

なぜか？というのは，あなたの最初の投稿にある
f(k)≦f(k+1) ⇔ f(k+1)/f(k) ≧ 1
　　　　　　　⇔ (n-k)/(k+1)×p/(1-p) ≧ 1
　　　　　　　⇔ k ≦ (n+1)p-1
が全てでしょう。
あと，二項分布が単峰である，ということもありますが。

No.02711　Re: 二項分布の最大項　　【Kido】　2007/02/10(Sat) 21:50

takahashiさん，せっかく説明していただいたのですが，私にはまだ理解できません。
二項分布が単峰であり，頂点があるわけですから，頂点がf(r-1)とf(r)の2つがあることはおかしいのではないでしょうか。f(r-1)とf(r)の間にf(r -1+α)があり，これが頂点（整数ではない）であるなら，最大項がf(r-1)とf(r)の2つになると思います（例えばr-1+αが3.5の時，f (r-1+α)が最大項をとる場合，r-1が3，rが4でf(r-1)とf(r)の2点で最大項をとることが考えられる）。

No.02712　Re: 二項分布の最大項　　【青木繁伸】　2007/02/10(Sat) 22:05

以下のような関数を作って，色々な n, p について実行して，その問題の解答と合っているかどうか，確認すればいかがでしょうか。
> sim <- function(n, p)
+ {
+ 	r <- 0:n
+ 	cat("n=", n, ", p=", p,
+ 		", (n+1)*p=", (n+1)*p,
+ 		"\n", sep="")
+ 	cbind(r, dbinom(r, 10, p))
+ }
> sim(10, 0.3)
n=10, p=0.3, (n+1)*p=3.3
       r             
 [1,]  0 0.0282475249
 [2,]  1 0.1210608210
 [3,]  2 0.2334744405
 [4,]  3 0.2668279320
 [5,]  4 0.2001209490
 [6,]  5 0.1029193452
 [7,]  6 0.0367569090
 [8,]  7 0.0090016920
 [9,]  8 0.0014467005
[10,]  9 0.0001377810
[11,] 10 0.0000059049

No.02713　Re: 二項分布の最大項　　【ファン】　2007/02/10(Sat) 23:23

No.2711
>頂点がf(r-1)とf(r)の2つがあることはおかしいのではないでしょうか。

二項分布は，p = q = 1/2 の時
　　f(x) = nCx / 2^n (x=0,1,…,n)
となって組合せ数 nCx によって形状が決まるので，その場合について考えてみるのがわかりやすいかも，，，
[n=1] 1:1
[n=2] 1:2:1
[n=3] 1:3:3:1
[n=4] 1:4:6:4:1
[n=5] 1:5:10:10:5:1
　…　　　…

No.02714　Re: 二項分布の最大項　　【青木繁伸】　2007/02/11(Sun) 21:59

>頂点がf(r-1)とf(r)の2つがあることはおかしいのではないでしょうか。

いろいろやってみればおわかりいただけると思うんですが
> cbind(0:11, dbinom(0:11, 11, 0.5)) # 母比率 1/2 試行数 11 の二項分布です
      [,1]         [,2]
 [1,]    0 0.0004882812
 [2,]    1 0.0053710938
 [3,]    2 0.0268554688
 [4,]    3 0.0805664062
 [5,]    4 0.1611328125
 [6,]    5 0.2255859375 # 同じですね
 [7,]    6 0.2255859375 # 同じですね
 [8,]    7 0.1611328125
 [9,]    8 0.0805664063
[10,]    9 0.0268554688
[11,]   10 0.0053710938
[12,]   11 0.0004882812

No.02715　Re: 二項分布の最大項　　【Kido】　2007/02/12(Mon) 11:02

青木先生，ファンさん，ご回答ありがとうございました。
大変わかりやすく，私にもやっと理解できました。
本当にありがとうございました。