「統計学関連なんでもあり」の過去ログ--- 039

No.01662　偏差値の足し算　　【すずき】　2006/11/28(Tue) 14:18

非常にレベルの低い質問で恐縮なのですが，2つの分布から偏差値を計算した値　X と Y があります。

例えば，これが英語と数学の偏差値だったとします。そして，英語と数学の学力から総合偏差値を出す時，総合学力=X+Y としてしまっていいのでしょうか？

想像では「相対的な偏差値の足し算」には無理があると思うのですが，明確な反証があればご教授いただけたらと思います。また，2つの偏差値から総合偏差値を計算する方法はあるのでしょうか？　さらには偏差値同士で平均をとってもいいのでしょうか？

よろしくお願いしますm(__)m

No.01663　Re: 偏差値の足し算　　【青木繁伸】　2006/11/28(Tue) 14:54

主成分分析の考え方
http://aoki2.si.gunma-u.ac.jp/lecture/PCA/model.html
からすると，二つの偏差値を足して総合偏差値を作るのは，何も問題がないでしょう。
その総合偏差値は，第1主成分に相当するものになるわけですね。

偏差値同士の平均というのは，数学と英語の偏差値の平均値という意味ですか？
足し算に問題がないのでしたら，足した後そのまま使おうが半分にして（2で割って，つまり平均値）使っても，同じですね。

R でシミュレーション
http://aoki2.si.gunma-u.ac.jp/R/index.html で定義した関数を使っています
> d <- gendat2(100, 0.7)*10+50 # 相関係数が 0.7 の2次元正規乱数
> wa <- apply(d, 1, sum) # 二変数の単なる合計値
> ans <- prcomp2(d, pcs=1,cor=TRUE, scores=TRUE, verbose=FALSE)
> cor(wa, ans$x[,1]) # 第1主成分得点 ans$x[,1] との相関係数
[1] 1 ← 完全な相関（乱数の状況によっては-1になることもあるが，符号は無関係）

No.01664　Re: 偏差値の足し算　　【すずき】　2006/11/28(Tue) 16:03

早速のお返事ありがとうございます。
>偏差値同士の平均というのは，数学と英語の偏差値の平均値という意味ですか？
そのとおりです。

主成分分析との関係ですが，（私の理解では）2次元の場合ではf_1方向への分散が最大になるように軸を回転させて，f_1がもっとも代表的な軸になるようにして，原点－d_1の距離が総合得点となるのは理解できました。

今のケースでは，異なる2つの分布から出現した偏差値を単純に足すことでも主成分分析の「考え方」を取り入れているという理解でよろしいでしょうか？（今の私の理解では，少し数学的に人に説明するのが難しい感じです）

Rについては早速試してみます。どうもありがとうございました。

No.01665　Re: 偏差値の足し算　　【青木繁伸】　2006/11/28(Tue) 17:05

> 異なる2つの分布から出現した偏差値を単純に足すことでも主成分分析の「考え方」を取り入れているという理解でよろしいでしょうか

以下の式の最初のものが第1主成分で，それは，二つの標準得点を合計したものを√2で割ったものと定義されていますよね。
偏差値は，標準得点を10倍して50を足したものですから，二つの偏差値を足したものと第1主成分は単純な比例関係にある（つまり相関が1）ということ。

No.01666　Re: 偏差値の足し算　　【すずき】　2006/11/28(Tue) 18:08

どうもありがとうございました。今後ともよろしくお願いします