「統計学関連なんでもあり」の過去ログ--- 039

No.01067　二項分布の平均値　　【自称エンジニア】　2006/09/12(Tue) 19:31

1回の試行結果Sが0か1の2通りである実験を，独立にn回繰り返すとき，S=1となる合計回数mの期待値E(m)はいくつになるのか？という問題で悩んでいます。

n 回の試行において，S=1となる確率pが常に一定の場合は，mは2項分布B(n,p)に従うと見なして，E(m) = n*p となるかと思います。が，S=1となる確率pが毎回変化する場合には，どう考えたら良いでしょうか。毎回変化する確率の平均的な値qを求めたうえで，E (m) = n*q と考えても良いものでしょうか。

勉強すべきキーワードだけでも結構ですので，ご教示いただければ幸いです。

No.01068　Re: 二項分布の平均値　　【青木繁伸】　2006/09/12(Tue) 20:07

毎回変動するというその確率がどのように変動するのかが分からないと答えは出ないのではないかと。

No.01069　Re: 二項分布の平均値　　【ひの】　2006/09/13(Wed) 00:30

>n回の試行において，S=1となる確率pが常に一定の場合は，mは2項分布B(n,p)に従うと見なして，E(m) = n*p となるかと思います。が，S=1となる確率pが毎回変化する場合には，どう考えたら良いでしょうか。

i回目の試行でS=1となる回数の期待値はpi，したがって，n回の合計なら，

n
E(m) = Σpi
i=1

これをnで割ってもう一度nをかけると，「毎回変化する確率の平均的な値qを求めたうえで，E(m) = n*q 」という計算になります。同じことですね。

No.01070　Re: 二項分布の平均値　　【R初心者】　2006/09/13(Wed) 08:45

＞n回の試行において，S=1となる確率pが常に一定の場合は，mは2項分布B(n,p)に従うと見なして，E(m) = n*p となるかと思います。が，S=1となる確率pが毎回変化する場合には，どう考えたら良いでしょうか。

多分一つ勘違いしているのは，

＞S=1となる確率pが常に一定の場合は

の部分でしょうね。
これは平たく言うと「母数推定」の問題ですが，一応どんな場合でも「母数は定数」と考えるのがセオリーです。「母数が変動する」とは考えません。
その「母数推定」，つまり，どうやって母数を求めるのか，と言う問題ですが，そのうちの一つの方法（と言うか一番オーソドックスな方法論）が青木先生がご紹介されてる「最尤法」

http://aoki2.si.gunma-u.ac.jp/lecture/Suitei/saiyuuhou.html

です。
つまり，

＞mは2項分布B(n,p)に従うと見なして，

と判断した時点で，モデルは二項分布である，と言う仮定になったのですから，ここから逆にどう言った母数が「一番ありそうな定数なのか？」探るのが定石だと思われます。

No.01071　Re: 二項分布の平均値　　【青木繁伸】　2006/09/13(Wed) 10:45

野球のバッターの打率のようなものを考える。生涯打率というのは引退後に決まるものであるが，そのバッターの最近の打率というのは，スランプやらなにやらの影響を受けて相当変動するものであろう。何をもって母比率とするか。

もう一つの思考実験。
表の出る確率が 0.1, 0.2, ..., 0.9 のような9種類のコインがたくさんある。実験管理者からわたされたコインを一回だけ投げて，表が出たかどうか記録する。実験者はコインが9種類あると言うことなどつゆ知らず。
実験者は自分が実験した結果からしか「母比率」を推定できない。
実験管理者は，9種類のコインをちゃんと区別でき，それぞれの中から意のままに実験者に渡すことができる。実験者が推定する「母比率」は実験管理者の意のまま。
実験管理者も9種類のコインを区別できないとすると実験者と同じになるが。
9種類のコインの割合が違ったらどうなるか。

考えれば考えるほど，なやましい。

要するに，貴方が何を仮定するか（したか）によるわけです。

No.01074　Re: 二項分布の平均値　　【自称エンジニア】　2006/09/13(Wed) 11:28

青木様，ひの様，R初心者様，

コメントありがとうございます。少しだけ考えが整理できました。
毎回の試行において，S=1となる確率pは（一定であるか，毎回変動するかに関わらず）既知である，という状況を想定した問題でした。例に挙げていただいたコイン投げ実験の話ですと，表が出る確率が異なる9種類のコインを，それぞれ数枚づつ渡され，実験者は，その確率も枚数もあらかじめわかっていて，表が出る合計回数の期待値を実験前に予測する，という問題でした。この問題ですと，ひの様のコメントいただいたような理解で良いのかなと，考えています。
有益なサイトの管理者様，コメントいただいた皆様に感謝いたします。