「統計学関連なんでもあり」の過去ログ--- 039

No.00962　変量の推測　　【tomo-soya】　2006/08/24(Thu) 23:12

初心者質問であるかもしれませんが，当方，困っております。互いに相関の無い変量x,yが，それぞれの平均がμx, μy, 標準偏差がσx,σyであるような正規分布であるとします。ここでw=x+yである変量wにおいて，値がWと測定されたとき，変量xはもとの分布より狭い領域の分布が期待されると思うのですが，実際，何らかの分布は新たに得られるのでしょうか？

No.00964　Re: 変量の推測　　【青木繁伸】　2006/08/25(Fri) 08:38

> 値がWと測定されたとき，変量xはもとの分布より狭い領域の分布が期待される

変量 x ではなく，変量 w のことを言っておられるのでは？

No.00968　Re: 変量の推測　　【tomo-soya】　2006/08/25(Fri) 09:46

青木先生，ご返答ありがとうございます。

> 変量 x ではなく，変量 w のことを言っておられるのでは？

いえ，xについて知りたいのです。例えば，バス停AからBまでのバスの所要時間がx，バス停Bから家Cまでの徒歩での所要時間がyとしたとき，AからCまでの所要時間はw=x+yとなります。ここで，家の到着時刻(=wの値)が判ったときに，バスの所要時間を見積もりたいのです。(すみません，考慮している問題をそのまま書くのは支障があるので，keyとなる部分だけを抜き出して例で説明しています。) このような問題なのですが，どうでしょうか？

No.00969　Re: 変量の推測　　【青木繁伸】　2006/08/25(Fri) 10:05

x, y が独立なので，w = x+y の w が測定されたからといって「変量xはもとの分布より狭い領域の分布」というのが理解できません。

No.00970　Re: 変量の推測　　【tomo-soya】　2006/08/25(Fri) 10:17

もともとのxの分布は平均μx，分散σx^2です。しかし，wがWと測定されたとすると，x=w-yから平均W- μy，分散0+σy^2=σy^2となる(と思うのですが)。すると，xの分布の表現が2種類になるので，そこからxの分布を狭くできるのではと思ったのです。何か考え違いをしているのでしょうか？

No.00971　Re: 変量の推測　　【青木繁伸】　2006/08/25(Fri) 10:46

> wがWと測定されたとすると

なぜ，そこで急に実測値 W の話になるのでしょうか。
W は w の実現値で，x=w-y の平均値は μw-μy=(μx+μy)-μy=μx，yとwはもはや相関をもちますので，分散は (σw^2+σy^2-2cov(wy))=σx^2+2σy^2-2cov(wy)=σx^2+2σy^2-2σy^2=σx^2 です

「xの分布の表現が2種類」というところがそもそもおかしい。
同じものが全く違う表現になるのなら全くおかしいし，見かけは違うが展開していくと同じになるということならそれはどうってことない。

No.00976　Re: 変量の推測　　【NA】　2006/08/25(Fri) 17:32

ご質問は w=x+y が観測されたときの x の条件付分布を求めたいということでしょうか。
であれば，質問の仮定の下で，x の分布は，

　平均 m_x+ 1/(1+Q)(w-(m_x+m_y)), 分散 Q/(1+Q)s_x^2

の正規分布です。ただし，Q = s_y^2/s_x^2 (y,x の分散比)。
条件付分布の分散は Q/(1+Q) に縮小し，おっしゃるように分布が「狭く」なります。
Q=0 (y が定数)ならば，分散が 0 で，x=w-m_y が，わかってしまいますね。

No.00978　Re: 変量の推測　　【tomo-soya】　2006/08/25(Fri) 20:56

青木先生，NAさん，おつきあいいただきありがとうございました。私が知りたいのはNAさんがご推察の通り，条件付き確率でした。私の質問が悪いためにお手数をおかけいたしました。