「統計学関連なんでもあり」の過去ログ--- 039

No.00910　F分布とｔ分布の関係　　【QD】　2006/08/16(Wed) 21:27

お恥ずかしいながら，統計を生業にしようと必死に勉強中の者です。

F分布とt分布の関係がどうしてもわかりません。
比較する水準が二つである場合には，F統計量はt統計量の2乗に一致する，とのことですが，このときのF統計量の分子，分母はそれぞれt統計量のなにに該当するのでしょうか？（「医学研究のための統計的方法」p107など読んでみたのですが，さっぱりわかりませんでした。）

できれば数式での説明があれば嬉しいです。
基本的なことで申し訳ありません。参考文献でもサイトでも，じっくり読んでみればわかるような資料をご紹介いただくのでも結構ですので，ご回答よろしくお願いいたします。

No.00911　Re: F分布とt分布の関係　　【QD】　2006/08/16(Wed) 21:35

追記。
「医学研究のための統計的方法」p107の抜粋

分子自由度=1の場合，分母自由度のt分布に従う量を2乗するとF分布に従う・・・この関係は，t統計量が本質的に平均値0の正規変数と独立な標準偏差の推定値との比になっているからである。

No.00912　Re: F分布とt分布の関係　　【青木繁伸】　2006/08/16(Wed) 21:48

> 比較する水準が二つである場合には，F統計量はt統計量の2乗に一致する

曖昧な記述ですね。曖昧なところから始めても，どこへ行き着くか分かりませんよというか，出発点をちゃんと把握していないと，検算もできないでしょう。

そこであなたが言わんとしていたことは，R で例を書けば

たとえば検定統計量を 1.234 としてみよう
> x <- 1.234
自由度kのt分布で |t| > x である確率
> pt(x, df=10, lower=FALSE)*2
[1] 0.2454173
第1自由度が1で，第2自由度がkのF分布で F > x^2 である確率
（第1自由度は必ず1であること，水準が2個なら，第1自由度は1になるのだ）
> pf(x^2, df1=1, df2=10, lower=FALSE)
[1] 0.2454173
が等しいと言うこと

あなたの書いた「比較する水準が二つ」というのは，具体的には二群の平均値を検定するには，いわゆるt検定を行うが，それを水準が2つである場合の一元配置分散分析（いわゆるF検定）でも同じP値が得られますよということ。
簡単なデータたとえば，第1水準 2,1,3,2,4と，第2水準 4,3,1,2,5,7 という簡単なデータに対して，いわゆる（しつこい？）t検定とF検定を公式通り適用して，P値を求めてみましょう。

数式で証明できたとしても（証明できるのは当たり前というか，なんだか統計の試験問題を解くようなもので）なんと言うこともないと思いますけど。

No.00914　Re: F分布とt分布の関係　　【QD】　2006/08/16(Wed) 23:03

早速のご返信ありがとうございます。
数式で証明出来るのは当たり前だとは思うのですが，
計算してみて二つの統計量が一致しても，統計量同士がどんな関係にあるのかがぴんと来ないため，数式で見ればわかるかもしれない，という期待があるからです。
自分でもトライしているのですが，数学の基礎がなっていないからでしょうね・・・たどりつけずにいます。一元配置分散分析の部分を見直しながらもう一度チャレンジして見ます。（それでもダメなら掲示板に戻ってくるかもしれませんが・・・）

お忙しいところありがとうございました。