「統計学関連なんでもあり」の過去ログ---037

★ 平均と標準偏差の関係 ★

9772.　平均と標準偏差の関係　ぽけ　2006/04/04 (火) 16:52
└9774.　Re: 平均と標準偏差の関係　青木繁伸　2006/04/04 (火) 17:21
　└9778.　Re^2: 平均と標準偏差の関係　ぽけ　2006/04/04 (火) 21:19
　　├9781.　Re^3: 平均と標準偏差の関係　青木繁伸　2006/04/04 (火) 21:59
　　└9780.　Re^3: 平均と標準偏差の関係　青木繁伸　2006/04/04 (火) 21:50
　　　└9788.　Re^4: 平均と標準偏差の関係　ぽけ　2006/04/05 (水) 09:57

9772.　平均と標準偏差の関係　ぽけ　　2006/04/04 (火) 16:52

「平均が大きいほど，その集団の標準偏差(ばらつき)も大きい」という関係は自明でしょうか．変動係数は「スケールの違うものどうしの「相対的なバラツキ」を比べる指標」として標準偏差を平均で割っていますが，その考えのもとには，平均が大きければその集団の標準偏差(ばらつき)も大きいということがあるのでしょうか．

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9774.　Re: 平均と標準偏差の関係　青木繁伸　　2006/04/04 (火) 17:21

> 平均が大きければその集団の標準偏差(ばらつき)も大きいということがあるのでしょうか．

そのようなことはないという一例を挙げておきましょう。

温度を測定するとき，単位は，絶対温度と摂氏とか華氏とかあるのはご存じでしょう。
摂氏x度は，絶対温度ではほぼ「273＋x度」ですね。

連続する三日間の最高気温が，20℃，23℃，25℃とすると，
> x <- c(20, 23, 25)
> mean(x)
[1] 22.66667
> var(x)
[1] 6.333333
絶対温度で表すと
> y <- 273+x
> mean(y)
[1] 295.6667
> var(y)
[1] 6.333333
ということで，平均値が大きくても分散は変わらないですね。

変な例だとお思いですか？
では別の例で
ほとんど体重変化のないお相撲さんの一年間の体重測定の分散と，
ダイエットと過食を繰り返す体重変化の激しい一般人の体重測定の分散と，どっちが大きいですか？

要するに，平均と標準偏差には何の関係もありません。

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9778.　Re^2: 平均と標準偏差の関係　ぽけ　　2006/04/04 (火) 21:19

早速にご返事をいただき，本当にどうもありがとうございます．
でも，まだすっきりできないのです．
いただいた温度の例で，摂氏x度は華氏で約1.8xであるとして数値の変換を考えました．
連続する三日間の最高気温(20℃，23℃，25℃)は，
摂氏では，
> x <- c(20, 23, 25)
> mean(x)
[1] 22.66667
> var(x)
[1] 6.333333
華氏では，
y <-1.8*x
> mean(y)
[1] 40.8
> var(y)
[1] 20.52
平均と分散が同時に大きくなる場合と，そうではない場合とがあるのですね．
平均と標準偏差には数式上関係があり，平均が比例して大きくなる場合には標準偏差は大きくなり，平均が加算されるように(うまく言い表せませんが)大きくなる場合には標準偏差は変わらない，ということでしょうか．平均はこれら以外にも累積的に変化する場合もあるか，などと考えられますが．．．果たして，平均と分散の関係をどのように整理したらよいのかわからなくなりました．結局，「平均と標準偏差には定まった関係はない」と言ってしまえばよいのでしょうか．

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9781.　Re^3: 平均と標準偏差の関係　青木繁伸　　2006/04/04 (火) 21:59

正確には，F＝C×9/5+32
> x <- c(20, 23, 25)
> x <- c(20, 23, 25)
> f <- x*9/5+32
> mean(x); var(x)
[1] 22.66667
[1] 6.333333
> mean(f);var(f)
[1] 72.8
[1] 20.52

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9780.　Re^3: 平均と標準偏差の関係　青木繁伸　　2006/04/04 (火) 21:50

> 結局，「平均と標準偏差には定まった関係はない」と言ってしまえばよいのでしょうか．

結局そう言うことです。

そうでなければ，平均値と標準偏差がそんな関係があれば，平均値と標準偏差がそれぞれ存在する意味がないじゃないですか。

実際，世の中にある色々なデータの平均値と標準偏差を求めて，その比を取ってみれば，簡単な関係などないことはすぐに分かるのではないですか？

ちょっと考えてみても，あるものを測定するのに大ざっぱな方法も正確な方法もあると言うことは当然あるわけで，平均値は同じくらいになるとしてもどんな正確な方法で測ってもバラツキはその平均値によって固定されるということがあるわけないではないですか。

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9788.　Re^4: 平均と標準偏差の関係　ぽけ　　2006/04/05 (水) 09:57

ご返信をありがとうございます．
具体的に考えてみたら確かに，納得．．．
アドバイス，ほんとうに感謝いたします．

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