「統計学関連なんでもあり」の過去ログ---034

★ 標本分散の分散について ★

7331.　標本分散の分散について　海王　2005/08/02 (火) 10:44
└7333.　Re: 標本分散の分散について　Katsura　2005/08/02 (火) 12:55
　└7344.　Re^2: 標本分散の分散について　奥山　2005/08/02 (火) 20:47
　　└7372.　Re^3: 標本分散の分散について　kzkishi　2005/08/04 (木) 21:28
　　　├7499.　Re^4: 標本分散の分散について　奥山　2005/08/22 (月) 20:51
　　　└7386.　Re^4: 標本分散の分散について　Katsura　2005/08/05 (金) 17:51
　　　　└7389.　Re^5: 標本分散の分散について　kzkishi　2005/08/05 (金) 19:57
　　　　　└7409.　Re^6: 標本分散の分散について　Katsura　2005/08/06 (土) 12:32

7331.　標本分散の分散について　海王　　2005/08/02 (火) 10:44

すみませんが教えて下さい。

標本分散の期待値が不偏ではないことは有名で，
数多くの文献に載っていますが，
標本分散の分散となると，なかなか求め方が文献に載っておらず
困っています。

簡単な導出方法を教えていただけませんでしょうか。

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7333.　Re: 標本分散の分散について　Katsura　　2005/08/02 (火) 12:55

簡単には求まらないんじゃないでしょうか。
サンプルが正規分布からの抽出とみなせるならその平方和がχ2乗分布にしたがうので，それを利用していろいろなことができると思いますが。

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7344.　Re^2: 標本分散の分散について　奥山　　2005/08/02 (火) 20:47

結論だけで申し訳ないですが，V(s^2) = 2*σ^4/n-1
のようです。

手元にある資料にのってました。
「統計解析入門」篠崎信雄　MSライブラリ p186,7参照

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7372.　Re^3: 標本分散の分散について　kzkishi　　2005/08/04 (木) 21:28

>結論だけで申し訳ないですが，V(s^2) = 2*σ^4/n-1

今頃になってレスをつけてしまい申し訳ないのですが…。
それ，母集団を正規分布と仮定した場合の話だと思います。
この場合には，下に書いた通りにして計算できました（というかネット漁っていたら見つけました）。
一般の場合を考えると，私の発想が貧弱なのか，V[(Σx_i)^2]という項が出てきてしまって，計算に行き詰ってしまったのですが…。
ちなみにその計算：V[Σ(x_i-xbar)^2/(n-1)]=(n*V[x^2]-4*V[x]^2+V[(Σx_i)^2]/n^2)/(n-1)^2

・母集団が正規分布と仮定した場合：
母集団が分散σ^2の正規分布に従うとき，n*s^2/σ^2～Χ^2_n-1である（s^2はいわゆる分散であり，不偏分散ではない）。
Χ^2_m（自由度mのカイ二乗分布）の分散＝2mである。
V[n*s^2/σ^2]=(n-1)^2*V[n*s^2/(n-1)]/σ^4
V[Χ^2_n-1]=2*(n-1)
よってV[n*s^2/(n-1)]=2*(n-1)*σ^4/(n-1)^2=2*σ^4/(n-1)となる。

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7499.　Re^4: 標本分散の分散について　奥山　　2005/08/22 (月) 20:51

激遅のレスですが，，，
計算過程を載せて頂いて，ありがとうございます。勉強になりました。

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7386.　Re^4: 標本分散の分散について　Katsura　　2005/08/05 (金) 17:51

> V[n*s^2/σ^2]=(n-1)^2*V[n*s^2/(n-1)]/σ^4

この部分の変形がよくわからないのですが・・・

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7389.　Re^5: 標本分散の分散について　kzkishi　　2005/08/05 (金) 19:57

>この部分の変形がよくわからないのですが・・・

以下の通りです。

c：定数の時，V[c*x]=c^2*V[x]
n-1は当然，定数。
σ^2は母集団の分散なので，定数。

V[n*s^2/σ^2]
=V[n*s^2]/σ^4
=V[(n-1)*n*s^2/(n-1)]/σ^4
=(n-1)^2*V[n*s^2/(n-1)]/σ^4

あ…念の為ですが，a^b*cとかa^b/cというのは，(a^b)*cという意味であって，a^(b*c)という意味ではありませんよ。
括弧を省略して書くと，ちょっと判り難いですね（でも一々つけると煩わしいので…）。

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7409.　Re^6: 標本分散の分散について　Katsura　　2005/08/06 (土) 12:32

↑説明ありがとうございます。

手元の本（小寺，isbn:4320013816)pp.93には，以下のように書いてありました。

平均μ，分散σ^2の母集団からの標本分散（サンプル数nで割ったもの；不偏分散ではない）をS2とすると，E（期待値）とV(分散；nで割ったもの）は，
E(S2)=(n-1)/n*σ^2
V(S2)={(n-1)^2 / n^3} × [μ4 - {(n-3)/(n-1)}・σ^4]
ただしμ4は平均周りの4次のモーメント
E[(X-E(X~))^4] ( x~は標本平均)

とありました（証明なし）。これは正規分布でなくてもよいようです。しかし推定には使えないような気がします。

正規分布が仮定できるなら，こんな面倒な計算をしなくとも，
n・S2/σ2～χ2分布
なので，それを使って母分散の区間推定や検定ができるでしょう。

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