★ 標本分散の分散について ★

7331. 標本分散の分散について 海王 2005/08/02 (火) 10:44
└7333. Re: 標本分散の分散について Katsura 2005/08/02 (火) 12:55
 └7344. Re^2: 標本分散の分散について 奥山 2005/08/02 (火) 20:47
  └7372. Re^3: 標本分散の分散について kzkishi 2005/08/04 (木) 21:28
   ├7499. Re^4: 標本分散の分散について 奥山 2005/08/22 (月) 20:51
   └7386. Re^4: 標本分散の分散について Katsura 2005/08/05 (金) 17:51
    └7389. Re^5: 標本分散の分散について kzkishi 2005/08/05 (金) 19:57
     └7409. Re^6: 標本分散の分散について Katsura 2005/08/06 (土) 12:32


7331. 標本分散の分散について 海王  2005/08/02 (火) 10:44
すみませんが教えて下さい。

標本分散の期待値が不偏ではないことは有名で,
数多くの文献に載っていますが,
標本分散の分散となると,なかなか求め方が文献に載っておらず
困っています。

簡単な導出方法を教えていただけませんでしょうか。

     [このページのトップへ]


7333. Re: 標本分散の分散について Katsura  2005/08/02 (火) 12:55
簡単には求まらないんじゃないでしょうか。
サンプルが正規分布からの抽出とみなせるならその平方和がχ2乗分布にしたがうので,それを利用していろいろなことができると思いますが。

     [このページのトップへ]


7344. Re^2: 標本分散の分散について 奥山  2005/08/02 (火) 20:47
結論だけで申し訳ないですが,V(s^2) = 2*σ^4/n-1
のようです。

手元にある資料にのってました。
「統計解析入門」篠崎信雄 MSライブラリ p186,7参照

     [このページのトップへ]


7372. Re^3: 標本分散の分散について kzkishi  2005/08/04 (木) 21:28
>結論だけで申し訳ないですが,V(s^2) = 2*σ^4/n-1

今頃になってレスをつけてしまい申し訳ないのですが…。
それ,母集団を正規分布と仮定した場合の話だと思います。
この場合には,下に書いた通りにして計算できました(というかネット漁っていたら見つけました)。
一般の場合を考えると,私の発想が貧弱なのか,V[(Σx_i)^2]という項が出てきてしまって,計算に行き詰ってしまったのですが…。
ちなみにその計算:V[Σ(x_i-xbar)^2/(n-1)]=(n*V[x^2]-4*V[x]^2+V[(Σx_i)^2]/n^2)/(n-1)^2

・母集団が正規分布と仮定した場合:
母集団が分散σ^2の正規分布に従うとき,n*s^2/σ^2〜Χ^2_n-1である(s^2はいわゆる分散であり,不偏分散ではない)。
Χ^2_m(自由度mのカイ二乗分布)の分散=2mである。
V[n*s^2/σ^2]=(n-1)^2*V[n*s^2/(n-1)]/σ^4
V[Χ^2_n-1]=2*(n-1)
よってV[n*s^2/(n-1)]=2*(n-1)*σ^4/(n-1)^2=2*σ^4/(n-1)となる。

     [このページのトップへ]


7499. Re^4: 標本分散の分散について 奥山  2005/08/22 (月) 20:51
激遅のレスですが,,,
計算過程を載せて頂いて,ありがとうございます。勉強になりました。

     [このページのトップへ]


7386. Re^4: 標本分散の分散について Katsura  2005/08/05 (金) 17:51
> V[n*s^2/σ^2]=(n-1)^2*V[n*s^2/(n-1)]/σ^4

この部分の変形がよくわからないのですが・・・

     [このページのトップへ]


7389. Re^5: 標本分散の分散について kzkishi  2005/08/05 (金) 19:57
>この部分の変形がよくわからないのですが・・・

以下の通りです。

c:定数の時,V[c*x]=c^2*V[x]
n-1は当然,定数。
σ^2は母集団の分散なので,定数。

V[n*s^2/σ^2]
=V[n*s^2]/σ^4
=V[(n-1)*n*s^2/(n-1)]/σ^4
=(n-1)^2*V[n*s^2/(n-1)]/σ^4

あ…念の為ですが,a^b*cとかa^b/cというのは,(a^b)*cという意味であって,a^(b*c)という意味ではありませんよ。
括弧を省略して書くと,ちょっと判り難いですね(でも一々つけると煩わしいので…)。

     [このページのトップへ]


7409. Re^6: 標本分散の分散について Katsura  2005/08/06 (土) 12:32
↑説明ありがとうございます。

手元の本(小寺,isbn:4320013816)pp.93には,以下のように書いてありました。

平均μ,分散σ^2の母集団からの標本分散(サンプル数nで割ったもの;不偏分散ではない)をS2とすると,E(期待値)とV(分散;nで割ったもの)は,
E(S2)=(n-1)/n*σ^2
V(S2)={(n-1)^2 / n^3} × [μ4 - {(n-3)/(n-1)}・σ^4]
ただしμ4は平均周りの4次のモーメント
E[(X-E(X~))^4] ( x~は標本平均)

とありました(証明なし)。これは正規分布でなくてもよいようです。しかし推定には使えないような気がします。

正規分布が仮定できるなら,こんな面倒な計算をしなくとも,
n・S2/σ2〜χ2分布
なので,それを使って母分散の区間推定や検定ができるでしょう。

     [このページのトップへ]


● 「統計学関連なんでもあり」の過去ログ--- 034 の目次へジャンプ
● 「統計学関連なんでもあり」の目次へジャンプ
● 直前のページへ戻る