「統計学関連なんでもあり」の過去ログ---032

★ 最大値より大きな値を推定する方法について。 ★

6061.　最大値より大きな値を推定する方法について。　良次　2005/02/24 (木) 12:07
├6070.　Re: 最大値より大きな値を推定する方法について。　kkk　2005/02/24 (木) 21:09
│├6076.　Re^2: 最大値より大きな値を推定する方法について。　kkk　2005/02/25 (金) 16:46
│└6072.　Re^2: 最大値より大きな値を推定する方法について。　青木繁伸　2005/02/24 (木) 21:26
│　└6073.　Re^3: 最大値より大きな値を推定する方法について。　青木繁伸　2005/02/24 (木) 21:45
└6062.　Re: 最大値より大きな値を推定する方法について。　青木繁伸　2005/02/24 (木) 12:10

6061.　最大値より大きな値を推定する方法について。　良次　　2005/02/24 (木) 12:07

観測値の最大値より大きな値を推定したいことがあります。
観測データとして，以下の数値を得ましたが，データがひとつ欠損しています。
欠損値のところが，その前後より高い数値であることはわかっているのですが，その値を推定する方法にはどのような方法，理論があるのか教えていただきたいのです。
よろしくお願いします。

105,107,106,111,124,133,欠損値,134,127,120,
110,104,102,103

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6070.　Re: 最大値より大きな値を推定する方法について。　kkk　　2005/02/24 (木) 21:09

> 105,107,106,111,124,133,欠損値,134,127,120,
> 110,104,102,103

順番にプロットしてみると何かしら連続的に変化している波形の一部のように見えますので，次の条件を仮定できるなら，標本化定理を使って補間できるかもしれません。
(1) 一定の周期で観測している。
(2) 観測対象は，観測周期より十分にゆっくりと変化している。
　=>観測周期の4倍以上の周期で変化している正弦波の重ね合わせで近似できる。

まず欠損部が入らないように1個おきにデータを再度サンプリングします。
観測周期の（本来2倍以上のところ）4倍以上ゆっくり変化しているという条件であれば元のデータを再現できることが標本化定理で保証されています。
107,111,133,134,120,104,103
このデータ列に，Sa=sin(t)/t で表される標本化関数を重畳して波形を再現すると
問題の欠損部の時間には，136.999（約137）があったことになります。

標本化定理は音楽CDに使われている原理，再生回路の一部です。

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6076.　Re^2: 最大値より大きな値を推定する方法について。　kkk　　2005/02/25 (金) 16:46

> 107,111,133,134,120,104,103
> このデータ列に，Sa=sin(t)/t で表される標本化関数を重畳して波形を再現すると

補足です。（説明と実際の計算では別の方法を使っていました。）
時間領域での本来の計算は，Sa(2pi/4*t)との畳み込み積分ですが，実際にはフーリエ変換を利用して周波数領域で計算しました。

奇数点ではFFTが使えないので最後の1点を除いた
107,111,133,134,120,104
をFFT変換し，
(709,0),(-46,17.3205),(7,-5.19615),(11,0)
これを2倍して，後ろに(0,0)を追加して
(1418,0),(-92,34.641),(14,-10.3923),(22,0),(0,0),(0,0),(0,0)
これを逆FFTして
108.833,107.441,109.167,121.607,134.833,136.999,132.167,128.226,121.833,110.06,102.167,104.668
これは107から始まる波形の復元データなので6番目の数値136.999が求める値。

ちなみにFFTは8(=2^3)点のデータの方が精度が高いので，103を除去しないで
後ろに105を追加して計算したら，
108.125,106.696,109.875,121.894,134.125,137.024,132.875,127.884,121.125,110.887,102.875,102.052,104.125,(103.893),(103.875),(106.67)
となり元のデータからの乖離が小さくなりました。
補間された欠損点は137.024

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6072.　Re^2: 最大値より大きな値を推定する方法について。　青木繁伸　　2005/02/24 (木) 21:26

> 順番にプロットしてみると何かしら連続的に変化している波形の一部のように見えますので，次の条件を仮定できるなら，標本化定理を使って補間できるかもしれません。
> (1) 一定の周期で観測している。
> (2) 観測対象は，観測周期より十分にゆっくりと変化している。
> 　=>観測周期の4倍以上の周期で変化している正弦波の重ね合わせで近似できる。

要するに，このような理論的根拠が何もなしでは予測できないと言うことです。

4次式で近似できるはずという理論的根拠があれば，
f(x) = 121.8999-23.40142*x+8.808076*x^2-0.9777557*x^3+0.03296797*x^4
ということになり，f(7)=133.4715749 となるわけです。

理論式はいくらでも考えられる訳ですが，質問者のデータがそのどれによって生成されているかは，これを見ている人には，誰にもわかりません。

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6073.　Re^3: 最大値より大きな値を推定する方法について。　青木繁伸　　2005/02/24 (木) 21:45

f(x)=a*sin(b*x)+c だとすると，135.3650388 あたりですね。

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6062.　Re: 最大値より大きな値を推定する方法について。　青木繁伸　　2005/02/24 (木) 12:10

> 欠損値のところが，その前後より高い数値であることはわかっているのですが，その値を推定する方法にはどのような方法，理論があるのか

欠損値の前後の値がどのような理論に従っているのかが分からないと無理ではないでしょうか。

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