「統計学関連なんでもあり」の過去ログ---032

★ Re^4: 正定値である共分散のつくりかた：追加質問　　 ★

6018.　Re^4: 正定値である共分散のつくりかた：追加質問　　　原　悠宗　2005/02/20 (日) 00:52
└6021.　Re^max: 正定値である共分散のつくりかた：追加質問　　　青木繁伸　2005/02/20 (日) 08:53
　└6023.　Re^max: 正定値である共分散のつくりかた：追加質問　　　原　悠宗　2005/02/20 (日) 10:47
　　└6024.　Re^max: 正定値である共分散のつくりかた：追加質問　　　青木繁伸　2005/02/20 (日) 11:33
　　　└6025.　Re^max: 正定値である共分散のつくりかた：追加質問　　　原　悠宗　2005/02/20 (日) 11:36

6018.　Re^4: 正定値である共分散のつくりかた：追加質問　　　原　悠宗　　2005/02/20 (日) 00:52

もう一点教えて頂けますでしょうか？先ほどの質問は，与えられた分布（多変量正規分布）からのサンプリングに関わるものでした。今回の質問は，先ほどの例で，ホンダ，日産，トヨタの売り上げの分散共分散行列の正定値性に関わるものです。仮に過去の3社の売り上げから分散共分散行列ををEXCEL等を利用して計算したと致します。この計算された分散共分散行列が仮に正定値性を満たしていない場合，この3つの系列は多変量正規分布からのサンプルではないと結論付けられるかと思います。しかしながらここで，理論からこの3つの系列は多変量正規分布であるという仮定がおかれており，これを守る必要があるといたします。この場合，当初の計算された分散共分散行列を最小限の変化を伴い正定値に変えることは可能なのでしょうか？この目的は，この分散共分散行列を制約条件に利用して，最適化（Second Order Cone problem)を解きたい為に伺っています。何卒宜しくお願いいたします。

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6021.　Re^max: 正定値である共分散のつくりかた：追加質問　　　青木繁伸　　2005/02/20 (日) 08:53

> 仮に過去の3社の売り上げから分散共分散行列ををEXCEL等を利用して計算したと致します。この計算された分散共分散行列が仮に正定値性を満たしていない場合，この3つの系列は多変量正規分布からのサンプルではないと結論付けられるかと思います。

どのようなデータ行列であれ，一次従属でない限り，そこから計算される分散共分散行列は必ず正定値行列になります。二変数ごとのデータがあってそれから計算される相関係数を相関係数行列としてまとめても，それは正定値行列にならない場合があります。そのような例として，データに欠損値が含まれる場合，二変数間の相関係数を計算するときに変数の組単位で欠損値を除いて計算する場合と，データ行列の行単位で欠損値を除いて（つまり，どれか一つでも欠損値を持つ行を除いて）計算する場合では，後者は必ず正定値行列になりますが，前者は正定値行列にならないことがあります。
原さんが，どのようにして分散共分散行列を計算されたか，その条件を上に当てはめて考察してみて下さい。

> 当初の計算された分散共分散行列を最小限の変化を伴い正定値に変えることは可能なのでしょうか？

Excel のソルバーなどを使って，分散共分散行列の一つまたは複数の要素を変化させて，正定値行列になるような解を求めてみる。その解が不十分な（修正量が大きすぎるような）場合には，別の要素を変化させて同様の方策を講じてみる。
そんなくらいしか思い浮かばないと言うか，解析的な方法があるかどうか私は知りません。

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6023.　Re^max: 正定値である共分散のつくりかた：追加質問　　　原　悠宗　　2005/02/20 (日) 10:47

青木様昨日からいろいろな質問に答えて頂いてありがとうございます。大変感謝いたしております。

実際，行った方法は，いくつかのセットからなる相関行列（車会社の売上相関，下請会社の売上相関，などなど）をひとつの相関行列としてまとめ（各セット間の相関を0と仮定），それをRとしてまず計算しました。この時，欠損値は自動的にセットの中で無視して，相関が計算されています。これに各系列の標準偏差をまとめたベクターSを利用し，分散共分散行列Vを（SS’（転値））＊（要素毎の掛け算を示す）Rで計算しました。
まず，最初の問題は，ご指摘いただいたように，あるセットの中で一次従属の関係（例えば，本田と日産のトヨタに対する相関が非常に強く，2社の標準偏差も似ている）が否定できないということです。

もうひとつは，最後の（SS’）＊Rがなにか問題を起こしていないかという点です。大変申し訳ありませんが，この点をご教授頂けませんでしょうか？

2点目は，エクセルのソルバーで，一度計算しています。ご指導ありがとうございました。

そして最後のお願いですが，最初にご回答いただいた6010を戻して頂く事はできませんでしょうか？

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6024.　Re^max: 正定値である共分散のつくりかた：追加質問　　　青木繁伸　　2005/02/20 (日) 11:33

> 実際，行った方法は，いくつかのセットからなる相関行列（車会社の売上相関，下請会社の売上相関，などなど）をひとつの相関行列としてまとめ（各セット間の相関を0と仮定），それをRとしてまず計算しました。この時，欠損値は自動的にセットの中で無視して，相関が計算されています。

このようにして作られた相関係数行列は，前に述べた理由で正定値行列でなくなる可能性が高いです。

> もうひとつは，最後の（SS’）＊Rがなにか問題を起こしていないかという点です。

これが合っているかどうかは，たとえば3×3程度の簡単な答えも分かっている行列を用意して，答えがあるかどうか確かめれば良いでしょう。

> そして最後のお願いですが，最初にご回答いただいた6010を戻して頂く事はできませんでしょうか？

6010は，R プログラムページへのリンクと，得られた相関係数と分散共分散行列との関係についてでした。
リンクは
http://aoki2.si.gunma-u.ac.jp/R/gendat.html
なお，R については，
http://aoki2.si.gunma-u.ac.jp/R/
そこには，R の開設ページなどへのリンクもあります。

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6025.　Re^max: 正定値である共分散のつくりかた：追加質問　　　原　悠宗　　2005/02/20 (日) 11:36

青木様，今回はありがとうございました。

今後とも宜しくお願いいたします。また，可能であれば，少しでも貢献できるよう，定期的に当ホームページをチェックさせていただきます。

原

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