「統計学関連なんでもあり」の過去ログ---031

★ F分布を利用した2群の等分散性の検定 ★

5121.　F分布を利用した2群の等分散性の検定　たい　2004/12/01 (水) 10:10
└5124.　Re: F分布を利用した2群の等分散性の検定　青木繁伸　2004/12/01 (水) 12:52
　└5127.　Re^2: F分布を利用した2群の等分散性の検定　たい　2004/12/02 (木) 05:19
　　└5128.　Re^3: F分布を利用した2群の等分散性の検定　TY　2004/12/02 (木) 10:10

5121.　F分布を利用した2群の等分散性の検定　たい　　2004/12/01 (水) 10:10

2群の等分散性の検定について質問させてください。
想定しているのは，各群のそれぞれの要素が正規分布に従うこと
を仮定して，不偏サンプル分散 (: S_i^2 i=1,2) が，
それぞれχ2乗分布に従うことから，その不偏サンプル分散の比が
F-分布に従うこと，を利用する検定です。

この検定では，検定統計量Fを

F = 不偏サンプル分散の大きいほう/ 不偏サンプル分散の小さいほう

のように定義すると思います。別な書き方をすると，

(*)　 F = max (s_1^2/s_2^2, s_2^2/s_1^2 )

のようになると思います。maxの中身の各要素がF分布に従うのは，
自明ですが，(*)で定義されたFが，F-分布に従うかどうかは，
明らかではないと思います。
一般には，X, Y が同じ分布に従っていても，max(X,Y)は，
全く別の分布に従うと思います。

この等分散性の検定で，なぜF-分布が用いられているのか，
わかりません。わたしは，(*)で定義されたFは，
おそらくF-分布に従わないだろうと思うのですが，
実はそうではなくて，F-分布に従うという結果があるのか，
もしくは，近似的にでも従うということが，知られているのか，
あるいはまた別な理由によって，F分布を用いることが，
正当化されるのでしょうか？　
ご存知の方がいらっしゃれば，御教唆いただければ，さいわいです。

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5124.　Re: F分布を利用した2群の等分散性の検定　青木繁伸　　2004/12/01 (水) 12:52

> (*)で定義されたFが，F-分布に従うかどうかは，
> 明らかではないと思います。

同じF分布でも，自由度が違います。
でもそのあたりを考慮した後では，計算される有意確率はどちらも同じになります。

普通の教科書はFが1以上になるように定義するわけですが，それは，検定に使うF分布表がF>1の場合について作られているからに過ぎません。コンピュータを使うなら，そんな制限は無用です。
> F <- 2.4
> pf(F, df1=3, df2=5, lower=FALSE)
[1] 0.1838846
> pf(1/F, df1=5, df2=3, lower=TRUE)
[1] 0.1838846

1/F について P 値を求めるとき，自由度を入れ替え，下側確率をとれば同じなんですね。

Rの等分散性の検定 var.test では，分母より分子が大きい場合も，入れ替えたりせず，F<1 の検定統計量を表示し，P値は当然ながらそのままちゃんと計算します。

> わたしは，(*)で定義されたFは，
> おそらくF-分布に従わないだろうと思うのですが，

ということで，それは間違いです。

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5127.　Re^2: F分布を利用した2群の等分散性の検定　たい　　2004/12/02 (木) 05:19

青木先生，ご丁寧な回答をありがとうございます。

御教唆いただいたのは，特にF分布に従う確率変数でなくとも，
任意の，正の値をとる確率変数Xに対して成立する，

　(##)　　Pr( X <= a ) = Pr ( 1/X >= 1/a )

という関係ですよね？　max(X,Y)が従う分布ではなくて，
Z = max(X, 1/X) という確率変数が従う分布を考えるべき
だったのですが，このZは，常に1以上の値をとるため，
Pr(Z<1) = 0 になるかと思います。

>> わたしは，(*)で定義されたFは，
>> おそらくF-分布に従わないだろうと思うのですが，
>
>ということで，それは間違いです。

ということなのですが，このPr(Z<1) = 0 は，
Zがχ2乗分布に従わないことの証拠になると思いますが，，，

以下のように考えてみたのですが，
これは，正しい考え方でしょうか？

検定統計量Fを
　
　(*)　 F = max (s_1^2/s_2^2, s_2^2/s_1^2 )

のように定義していると考えるよりは，以下の2種類の
検定統計量：

　　F' = s_1^2/s_2^2
　　F'' = s_2^2/s_1^2

を考えているとする。
(1) いま，F'=1/F'' という関係と，(##)という
関係のために，どちらの統計量で考えても，同じである。
(2)また，F'若しくはF''のどちらか一方を検定統計量として，
　用いた場合には，両裾の棄却域のうちどちらか片方は，
常に棄却のために利用されることはない。
(3) F'>=1 もしくは，F''>=1が常に成立するために，
　その場に応じて，1以上になる方を採用しておけば，
いつも上側の確率だけ考えておけばよい。

統計量を
F = 不偏サンプル分散の大きいほう/ 不偏サンプル分散の小さいほう
のように考える理由を，以上(1)-(3)のように
考えてみたのですが，いかがでしょう？　
ちょっと，自分でも混乱してきたのですが，
もう少しご教授いただけると嬉しいです。

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5128.　Re^3: F分布を利用した2群の等分散性の検定　TY　　2004/12/02 (木) 10:10

> 検定統計量：
>
> 　　F' = s_1^2/s_2^2
> 　　F'' = s_2^2/s_1^2
のどちらか一方のみが検定統計量だが，数表 (本当に数字が並べてある表です。多くの統計の本の巻末につけられています) はF>=1だけ用意されている。昔，星をつけていた頃は，この数表とにらめっこして検定していたらしい。
F<1の数表を作らなかったのは，F(DF1,DF2)の下側棄却域を調べることは，1/F(DF2,DF1)の上側棄却域を調べることと同値だったから (F<1を省略することでページ数を圧縮できる)。

今は，計算機が発達しているので，わざわざF<1の時に逆数を取って計算する必要がなくなっています。

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