「統計学関連なんでもあり」の過去ログ---030

★ 相関行列から求めた固有ベクトルから，元の変数を復元できる？ ★

4089.　相関行列から求めた固有ベクトルから，元の変数を復元できる？　森山　2004/08/27 (金) 15:54
└4092.　Re: 相関行列から求めた固有ベクトルから，元の変数を復元できる？　青木繁伸　2004/08/27 (金) 20:45
　└4093.　Re^2: 相関行列から求めた固有ベクトルから，元の変数を復元できる？　森山　2004/08/28 (土) 12:10
　　└4096.　Re^3: 相関行列から求めた固有ベクトルから，元の変数を復元できる？　青木繁伸　2004/08/28 (土) 14:24
　　　└4097.　Re^4: 相関行列から求めた固有ベクトルから，元の変数を復元できる？　森山　2004/08/28 (土) 16:04
　　　　└4099.　Re^5: 相関行列から求めた固有ベクトルから，元の変数を復元できる？　青木繁伸　2004/08/28 (土) 20:52
　　　　　└4100.　Re^6: 相関行列から求めた固有ベクトルから，元の変数を復元できる？　森山　2004/08/29 (日) 01:29

4089.　相関行列から求めた固有ベクトルから，元の変数を復元できる？　森山　　2004/08/27 (金) 15:54

異なる次元の変数を主成分分析しています．
基準化して相関行列から固有値・固有ベクトルを求めました．
今，下の式のように，分散・共分散行列から始めた場合のように，もとの変数を復元（用語が正しくないかも知れません）したいのですが，どのようにしたら正しいでしょうか？

p = p_ave + E * n p : 変数のベクトル p_ave : 各変数の平均からなるベクトル E : 固有ベクトル n : 主成分得点 * : 積演算

問題の場合，変数は基準化されているので，p_ave はゼロベクトルになります．

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4092.　Re: 相関行列から求めた固有ベクトルから，元の変数を復元できる？　青木繁伸　　2004/08/27 (金) 20:45

元のデータは再現できないでしょう。

元のデータと同じ相関係数行列あるいは分散共分散行列を持つデータは再現できるでしょう。
相関係数行列を再現できるデータを作るのは
http://aoki2.si.gunma-u.ac.jp/R/gendat.html
などを見ればいいかもしれないし，
そこから，特定の平均値・分散を持つ変数に変換するなんて朝飯前でしょう。

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4093.　Re^2: 相関行列から求めた固有ベクトルから，元の変数を復元できる？　森山　　2004/08/28 (土) 12:10

お返事ありがとうございます．

実は次元数を圧縮した空間（主成分空間）で，それぞれの軸上で変動させた結果を，元の変数の次元に戻す，ということをやりたいのです．

そのためには，分散・共分散行列から分析を始める方法でなければ無理ということですね．
今，問題は，単位の異なる3つの変数を同時に主成分分析していることです．基準化せずに分析することは次元の異なる数値を同列に扱うということで意味がないですし，基準化してしまうと元には戻せないですし，何とかこれを実現する方法はないかと模索しているのですが，何かご意見を頂けたら幸いです．

＃お教え頂いたR言語の関数は，相関行列は同じになるデータを generate してくれそうですが，元の変数（実は声の高さや大きさ，といった音声処理のパラメータ）として意味のある値なのかは保証されないような気がするのですが，いかがでしょうか．．

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4096.　Re^3: 相関行列から求めた固有ベクトルから，元の変数を復元できる？　青木繁伸　　2004/08/28 (土) 14:24

相関係数行列や分散共分散行列から元のデータを再現するのは不可能でしょう。
特に，時系列データならなおさら。

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4097.　Re^4: 相関行列から求めた固有ベクトルから，元の変数を復元できる？　森山　　2004/08/28 (土) 16:04

画像処理，音声処理の研究では，変数の平均ベクトルと分散・共分散行列から求めた固有ベクトルから元の変数を復元することは，既に随分前から一般的にやられていて，ほぼ研究としては成熟した成果が出ているのですよ．

参考：Active Appearance Model
http://citeseer.ist.psu.edu/cootes98active.html

ただし，画像処理で言えば，画像上の点の位置のディメンジョンのみに対して主成分分析，というようにしているので，基準化の問題はないわけです．
音声でも，声の高さ（ピッチ）のみに対して，というのであれば，同じようにできるのですが，声の高さと大きさ，と異なる次元のものを入れるよう，というのが今回のチャレンジです．

この辺りをお含み頂いて，何かコメント頂けたら幸いです．

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4099.　Re^5: 相関行列から求めた固有ベクトルから，元の変数を復元できる？　青木繁伸　　2004/08/28 (土) 20:52

> 画像処理，音声処理の研究では，変数の平均ベクトルと分散・共分散行列から求めた固有ベクトルから元の変数を復元することは，既に随分前から一般的にやられていて，ほぼ研究としては成熟した成果が出ているのですよ．

ほー，すばらしい。

平均値ベクトル 0.22095995 -0.35567897 0.06708289 分散共分散行列 1.5575813 -0.9084960 -0.1287595 -0.9084960 0.6842198 -0.1715038 -0.1287595 -0.1715038 1.3141253 分散共分散行列の固有値 2.12929137 1.35062867 0.07600635 固有値ベクトル 0.84757376 -0.07159475 -0.5258259 -0.53020771 -0.15593533 -0.8334050 -0.02232741 0.98516921 -0.1701268

これだけで，データ行列が再現できるのですか。
驚きです。

再現できるプログラムなりを提示していただけると，非常にありがたく思います。

いや～，すばらしい！！

データの個数の情報も必要ないんでしょうか（びっくりです）

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4100.　Re^6: 相関行列から求めた固有ベクトルから，元の変数を復元できる？　森山　　2004/08/29 (日) 01:29

と，話している間に，僕の学生が復元する方法にたどりついたそうです．

それでは．

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