「統計学関連なんでもあり」の過去ログ---030

★ 両対数変換回帰式のバイアス？ ★

4071.　両対数変換回帰式のバイアス？　若林正吾　2004/08/26 (木) 10:04
└4073.　Re: 両対数変換回帰式のバイアス？　青木繁伸　2004/08/26 (木) 10:22
　├4078.　Re^2: 両対数変換回帰式のバイアス？　若林正吾　2004/08/26 (木) 10:47
　│└4080.　Re^3: 両対数変換回帰式のバイアス？　青木繁伸　2004/08/26 (木) 10:55
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　└4077.　Re^2: 両対数変換回帰式のバイアス？　j54854　2004/08/26 (木) 10:39

4071.　両対数変換回帰式のバイアス？　若林正吾　　2004/08/26 (木) 10:04

両対数変換回帰式のバイアスについて，お教え下さい。
投稿中の論文査読で，
xとyを対数変換してy=a・x^bというような有意な回帰式が得られる場合には，バイアスがあり，補正式で計算しなおすべきだと，レフェリーからコメントがつきました。その補正係数の計算式は，以下のようなものであり，

SEE=(sigma(logyi-logyi')^2/(N-2))^0.5
CF=exp(SEE^2/2)

logyiのyiは，測定値，logyi'のyi'は，1度補正前に回帰式を求めてxiを入れたときの推定値と指摘内容からは読み取れます。

yi*CFとxiで回帰分析をもう一度行い，新たな回帰式を求める。原典は，Finney(1941)と書かれている。

1．このような補正は，統計的に認められた方法なのか？また，私が理解している計算過程は，正しいのか？

2．対数変換して，回帰式を求めることは，普通に行われている（行ってきた）が，決定係数が低いときは，補正係数を考慮することが望ましいのか？

3．この補正は，単なる不偏推定量の最小自乗法ではなく，一様最小分散不偏推定量と呼ばれるものなのか？（統計学の理解レベルは，最小自乗法が自分で計算できる程度でしかありません）

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4073.　Re: 両対数変換回帰式のバイアス？　青木繁伸　　2004/08/26 (木) 10:22

Finney(1941) の何でしょうかね。
論文なら，雑誌名，タイトルくらいないと，それをこちらで調べて，場合によっては論文を取り寄せてなんてやってられないですが。

対数変換して回帰直線するなんてことしないで，非線形回帰すればいいのに.....

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4078.　Re^2: 両対数変換回帰式のバイアス？　若林正吾　　2004/08/26 (木) 10:47

> Finney(1941) の何でしょうかね。
特段引用しなくても，有名な方法かと思いまして，無知で失礼しました。原典は，Finney(1941) On the distribution of avariate whose logaritm is normally distributed. J. Royal Stati stical Society Series B 7:155-161です。

> 対数変換して回帰直線するなんてことしないで，非線形回帰すればいいのに.....
362や1652のスレッドを見ているのですが，両対数グラフ上で線形関係となり，傾きがほぼ1となることに意味があると考えている現象なので，非線形へ移行する一歩が踏み出せません。

よろしくお願いします。

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4080.　Re^3: 両対数変換回帰式のバイアス？　青木繁伸　　2004/08/26 (木) 10:55

> 両対数グラフ上で線形関係となり，傾きがほぼ1となることに意味があると考えている現象なので

xとyを対数変換してy=a・x^b
なら，「傾きがほぼ1」ということは，対数変換しようがしまいが，非線形回帰だろうが，b=1 であることに変わりないでしょう。

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4081.　Re^4: 両対数変換回帰式のバイアス？　若林正吾　　2004/08/26 (木) 11:42

> xとyを対数変換してy=a・x^b
> なら，「傾きがほぼ1」ということは，対数変換しようがしまいが，非線形回帰だろうが，b=1 であることに変わりないでしょう。
いわれてみれば，たしかに，，，。

統計学的には，CFという補正係数を使うより，現在は，非線形回帰モデルを使えば，両対数変換のバイアスは，問題は小さくなくなると考えればよろしいのでしょうか？
非線形回帰を行ったことがないのです。この場合，対数変換せずに実数のまま，y=a・x^bをモデルとすれば良いのでしょうか？

よろしくお願いします。

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4082.　Re^5: 両対数変換回帰式のバイアス？　青木繁伸　　2004/08/26 (木) 11:56

R でやってみると以下のようになる。（先頭が > の行が入力，# 以降は注釈）
http://aoki2.si.gunma-u.ac.jp/Hanasi/StatTalk/nls.html
も参照のこと。

> x <- 1:10 > y <- floor(2*x^1.1) # テストデータを作って > data <- data.frame(x,y) # データフレームにして > data # こんなデータを x y 1 1 2 2 2 4 3 3 6 4 4 9 5 5 11 6 6 14 7 7 17 8 8 19 9 9 22 10 10 25 > res <- nls(y ～ a*x^b, data, start=list(a=1, b=1)) # 非線形回帰して > print(res) # 結果をプリントしたり Nonlinear regression model model: y ～ a * x^b data: data a b 1.799535 1.141208 residual sum-of-squares: 0.57702 > summary(res) # もう少し詳しく出したり Formula: y ～ a * x^b Parameters: Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) a 1.79954 0.07004 25.69 5.65e-09 *** b 1.14121 0.01883 60.60 6.11e-12 *** --- Signif. codes: 0 `***' 0.001 `**' 0.01 `*' 0.05 `.' 0.1 ` ' 1 Residual standard error: 0.2686 on 8 degrees of freedom Correlation of Parameter Estimates: a b -0.9892

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4085.　Re^6: 両対数変換回帰式のバイアス？　若林正吾　　2004/08/26 (木) 13:00

外国のレフェリーのコメントが，CFを使えということなので，どう説明していいかわかりませんが，

なんとか，やってみます。ありがとうございました。

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4077.　Re^2: 両対数変換回帰式のバイアス？　j54854　　2004/08/26 (木) 10:39

本補正のことはよく知りませんが，バイアスは以下のようになるのでは？

log(y)=b*log(x)+log(a)+e

という回帰をされたのだと思いますが，両辺のexpをとると：

y=a*x^b*exp(e)

期待値を取ると：

E[y]=a*x^b*E[exp(e)]=a*x^b*[1+var(e)/2+...]

CFはこのvar(e)/2の推定値だと思われませんか？

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