★ 両対数変換回帰式のバイアス? ★

4071. 両対数変換回帰式のバイアス? 若林正吾 2004/08/26 (木) 10:04
└4073. Re: 両対数変換回帰式のバイアス? 青木繁伸 2004/08/26 (木) 10:22
 ├4078. Re^2: 両対数変換回帰式のバイアス? 若林正吾 2004/08/26 (木) 10:47
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 └4077. Re^2: 両対数変換回帰式のバイアス? j54854 2004/08/26 (木) 10:39


4071. 両対数変換回帰式のバイアス? 若林正吾  2004/08/26 (木) 10:04
両対数変換回帰式のバイアスについて,お教え下さい。
投稿中の論文査読で,
xとyを対数変換してy=a・x^bというような有意な回帰式が得られる場合には,バイアスがあり,補正式で計算しなおすべきだと,レフェリーからコメントがつきました。その補正係数の計算式は,以下のようなものであり,

SEE=(sigma(logyi-logyi')^2/(N-2))^0.5
CF=exp(SEE^2/2)

logyiのyiは,測定値,logyi'のyi'は,1度補正前に回帰式を求めてxiを入れたときの推定値と指摘内容からは読み取れます。

yi*CFとxiで回帰分析をもう一度行い,新たな回帰式を求める。原典は,Finney(1941)と書かれている。

1.このような補正は,統計的に認められた方法なのか?また,私が理解している計算過程は,正しいのか?

2.対数変換して,回帰式を求めることは,普通に行われている(行ってきた)が,決定係数が低いときは,補正係数を考慮することが望ましいのか?

3.この補正は,単なる不偏推定量の最小自乗法ではなく,一様最小分散不偏推定量と呼ばれるものなのか?(統計学の理解レベルは,最小自乗法が自分で計算できる程度でしかありません)

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4073. Re: 両対数変換回帰式のバイアス? 青木繁伸  2004/08/26 (木) 10:22
Finney(1941) の何でしょうかね。
論文なら,雑誌名,タイトルくらいないと,それをこちらで調べて,場合によっては論文を取り寄せてなんてやってられないですが。

対数変換して回帰直線するなんてことしないで,非線形回帰すればいいのに.....

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4078. Re^2: 両対数変換回帰式のバイアス? 若林正吾  2004/08/26 (木) 10:47
> Finney(1941) の何でしょうかね。
特段引用しなくても,有名な方法かと思いまして,無知で失礼しました。原典は,Finney(1941) On the distribution of avariate whose logaritm is normally distributed. J. Royal Stati stical Society Series B 7:155-161です。

> 対数変換して回帰直線するなんてことしないで,非線形回帰すればいいのに.....
362や1652のスレッドを見ているのですが,両対数グラフ上で線形関係となり,傾きがほぼ1となることに意味があると考えている現象なので,非線形へ移行する一歩が踏み出せません。

よろしくお願いします。

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4080. Re^3: 両対数変換回帰式のバイアス? 青木繁伸  2004/08/26 (木) 10:55
> 両対数グラフ上で線形関係となり,傾きがほぼ1となることに意味があると考えている現象なので

xとyを対数変換してy=a・x^b
なら,「傾きがほぼ1」ということは,対数変換しようがしまいが,非線形回帰だろうが,b=1 であることに変わりないでしょう。

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4081. Re^4: 両対数変換回帰式のバイアス? 若林正吾  2004/08/26 (木) 11:42
> xとyを対数変換してy=a・x^b
> なら,「傾きがほぼ1」ということは,対数変換しようがしまいが,非線形回帰だろうが,b=1 であることに変わりないでしょう。
いわれてみれば,たしかに,,,。

統計学的には,CFという補正係数を使うより,現在は,非線形回帰モデルを使えば,両対数変換のバイアスは,問題は小さくなくなると考えればよろしいのでしょうか?
非線形回帰を行ったことがないのです。この場合,対数変換せずに実数のまま,y=a・x^bをモデルとすれば良いのでしょうか?

よろしくお願いします。

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4082. Re^5: 両対数変換回帰式のバイアス? 青木繁伸  2004/08/26 (木) 11:56
R でやってみると以下のようになる。(先頭が > の行が入力,# 以降は注釈)
http://aoki2.si.gunma-u.ac.jp/Hanasi/StatTalk/nls.html
も参照のこと。
> x <- 1:10
> y <- floor(2*x^1.1) # テストデータを作って
> data <- data.frame(x,y) # データフレームにして
> data # こんなデータを
    x  y
1   1  2
2   2  4
3   3  6
4   4  9
5   5 11
6   6 14
7   7 17
8   8 19
9   9 22
10 10 25
> res <- nls(y 〜 a*x^b, data, start=list(a=1, b=1)) # 非線形回帰して
> print(res) # 結果をプリントしたり
Nonlinear regression model
  model:  y 〜 a * x^b 
   data:  data 
       a        b 
1.799535 1.141208 
 residual sum-of-squares:  0.57702 
> summary(res) # もう少し詳しく出したり

Formula: y 〜 a * x^b

Parameters:
  Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
a  1.79954    0.07004   25.69 5.65e-09 ***
b  1.14121    0.01883   60.60 6.11e-12 ***
---
Signif. codes:  0 `***' 0.001 `**' 0.01 `*' 0.05 `.' 0.1 ` ' 1 

Residual standard error: 0.2686 on 8 degrees of freedom

Correlation of Parameter Estimates:
        a
b -0.9892

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4085. Re^6: 両対数変換回帰式のバイアス? 若林正吾  2004/08/26 (木) 13:00
外国のレフェリーのコメントが,CFを使えということなので,どう説明していいかわかりませんが,

なんとか,やってみます。ありがとうございました。

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4077. Re^2: 両対数変換回帰式のバイアス? j54854  2004/08/26 (木) 10:39
本補正のことはよく知りませんが,バイアスは以下のようになるのでは?

log(y)=b*log(x)+log(a)+e

という回帰をされたのだと思いますが,両辺のexpをとると:

y=a*x^b*exp(e)

期待値を取ると:

E[y]=a*x^b*E[exp(e)]=a*x^b*[1+var(e)/2+...]

CFはこのvar(e)/2の推定値だと思われませんか?

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